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del sistema S il luogo dei punti di F per cui due delle v curve uscenti da 

 esso coincidono in un medesimo elemento di S , cosicché tale luogo sarà co- 

 stituito dall' ordinario inviluppo (luogo dei punti d' intersezione di due curve 

 infinitamente vicine) e dagli elementi multipli del sistema S che hanno al- 

 meno uno dei ranghi maggiore di zero. Quando nel seguito parleremo del- 

 l'inviluppo di S intenderemo senz'altro l'insieme dell'ordinario inviluppo e 

 di ciascun elemento multiplo del sistema stesso contato con un ordine di 

 molteplicità uguale alla somma dei suoi ranghi. 



Alle v curve di S uscenti da un punto di F corrisponde un gruppo G 

 di v punti sulla curva y> ; variando il punto sulla superficie F, il gruppo Gr 

 descrive su g> una serie oo 2 2 birazionalmente identica alla superficie F o 

 ad una involuzione ivi esistente, nel caso che il sistema non sia semplice. * 

 Si consideri ora su F una curva A che incontri la curva generica C del 

 sistema S in m punti; ad un punto variabile su questa curva corrisponde 

 un gruppo di 2 variabile in una serie od 1 y di indice m\ ad un punto di 

 intersezione di A con l'inviluppo di S corrisponde su cp un gruppo di y con- 

 tenente due punti infinitamente vicini. Ma per il teorema di Castelnuovo il 

 numero dei punti doppi della serie y è ^2m\y -\- n — 1] , il segno = 

 avendosi solo quando la serie y è costituita da gruppi tutti equivalenti. Se 

 dunque il numero dei punti d' intersezione di A con l' inviluppo di S è 

 = 2m [y -J- ti — 1], e la curva A appartiene ad un sistema continuo almeno 

 oo 1 di gdaro >> 0 , variando A entro tale sistema, il numero dei punti d'in- 

 tersezione di A coli' inviluppo di S rimarrà costante, la serie y che le cor- 

 risponde entro 2 descriverà tutta 2 e sarà sempre costituita da gruppi equi- 

 valenti, e poiché due serie y hanno sempre almeno un gruppo comune, tutta 

 la serie 2 sarà costituita da gruppi equivalenti. Allora per un teo- 

 rema del prof. Severi (') il sistema S è contenuto totalmente in un sistema 

 lineare. 



Possiamo dunque enunciare: 



« Dato sopra una superficie algebrica F un sistema algebrico irri- 

 ducibile co 1 S dì curve algebriche, di ìndice v e di genere tv , una curva, 



(*) Cfr. il n.° 2 della bella Memoria del Severi, Il teorema d'Abel sulle superficie al- 

 gebriche, (Annali di Matematica, Serie III, tomo XII), nella quale, con l'uso degl'inte- 

 grali finiti di Picard relativi alla superficie, si danno le condizioni perchè un sistema 

 algebrico di curve sia contenuto in un sistema lineare, e se ne deducono varie proprietà, 

 fra le quali una dimostrazione veramente semplice del teorema (che è il risultato di re- 

 centi ricerche di Severi, Picard, Enriques, Castelnuovo, al quale se ne deve la determi- 

 nazione ultima) che afferma essere il numero di detti integrali uguale all'irregolarità della 

 superficie. 



Il Severi stesso è ritornato sul teorema di Abel negli altri due lavori, Intorno al 

 teorema d'Abel sulle superficie algebriche, e alla riduzione a forma normale degl'inte- 

 grali di Picard (Piendiconti di Palermo, 1906), e Osservazioni varie di Geometria sopra 

 una superficie algebrica e sopra una varietà (Atti del E. Istituto veneto 1905-06). 



