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A che incontri la curva generica del sistema in m punti, incontrerà il 

 suo inviluppo in un numero di punti <. 2m[y -j- n — 1] : se il limite su- 

 periore è raggiunto e la curva A è atta a individuare un sistema conti- 

 nuo di grado JEl 0 , il sistema S è contenuto totalmente in un sistema 

 lineare » . 



Prendendo per A una sezione piana (o iperpiana), si ottiene il teorema : 



e L'ordine dell'inviluppo di un sistema algebrico irriducibile (di oo 1 

 indice v e di genere n) di curve algebriche di ordine m non può superare 

 il numero 2m\_v-\-n — 1] ; se il limite superiore è raggiunto, il sistema 

 algebrico è contenuto totalmente in un sistema lineare » . 



Ricordando che le superficie regolari sono caratterizzate dal non posse- 

 dere sistemi continui di curve algebriche non contenuti in sistemi lineari (*), 

 si ha: 



« Una proprietà caratteristica delle superficie algebriche regolari è 

 che in esse l'inviluppo di ogni sistema algebrico irriducibile oo 1 di indice v , 

 di genere ti , di curve algebriche dell' ordine m ha V ordine massimo 

 2m[y -j- ti — 1] « . 



2. L'estensione del teorema dimostrato al caso di una varietà qualun- 

 que si fa immediatamente. Entro una varietà V„ (ad n dimensioni) immersa 

 nello spazio S r si abbia un sistema algebrico irriducibile S semplicemente 

 infinito di varietà V„_! (ad n — 1 dimensioni), di indice v e di genere n , 

 e sia I il suo inviluppo, del quale intendiamo sempre faccia parte ogni ele- 

 mento multiplo di S con una molteplicità uguale alla somma dei suoi ranghi. 

 Sulla curva (p di genere tx, immagine del sistema S, si avrà una serie alge- 

 brica 2 oo" di gruppi di v punti, birazionalmente identica alla varietà V, se 

 il sistema S è semplice ; se invece le v varietà di S passanti per un punto 

 hanno comuni co ft punti costituenti una varietà co k , la serie 2 sarà oo w - ft e 

 birazionalmente identica alla totalità delle w^. Un S r _ n+1 generico di S r 

 taglierà la Y n in una curva C e la varietà generica del sistema S in m 

 punti, se m è l'ordine di tale varietà. Alla curva C corrisponde su cp una 

 serie oo 1 di gruppi di v punti contenuta in 2 e di indice m , la quale avrà 

 un numero di punti doppi 2m [y -\- ti — 1] . Se il limite è raggiunto, 

 variando 1' S r _„+i entro V S r e appli«ando il teorema di Severi, si ottiene : 



« L'inviluppo di un sistema semplicemente infinito irriducibile (di 

 indice v e di genere n) di varietà ad n — 1 dimensioni e di ordine m 

 contenuto entro una varietà ad n dimensioni ha l'ordine ^L2m[y -\- ti — 1] ; 

 se il limite superiore è raggiunto, e solo allora, il sistema è totalmente 

 contenuto in un sistema lineare. Il limite sarà costantemente raggiunto 

 per ogni sistema continuo, se la varietà è regolare ( 2 ) ». 



(') Cfr. Enriques, Sulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irrego- 

 golari (Atti della E. Accademia di Bologna, 1905). 



( 2 ) Ricordiamo che si dice regolare una varietà ad n dimensioni priva di sistemi 

 continui completi non lineari di varietà ad n — 1 dimensioni. 



