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3. Dalle considerazioni precedenti si può far discendere l'estensione a 

 due varietà qualunque di un teorema che il Severi ha dimostrato per le 

 corrispondenze a valenza zero fra una superficie e una curva, e fra una va- 

 rietà e una curva 



Fra i punti di due varietà V r e V s (ad r e ad s dimensioni) esista 

 una corrispondenza algebrica che associ ad un plinto generico di V r una 

 varietà V s _! (ad s — 1 dimensioni) entro la V s ; se tale V s _! nasce da oo' 

 punti di V r costituenti una varietà u>i (i >. 0), variando il detto punto entro 

 la V r , la V s _! corrispondente descriverà entro V s un sistema algebrico co r_ \ 

 che chiameremo S, birazionalmente identico alla varietà delle <w; . Alle a/-*- 1 

 V s _! di S uscenti da un punto generico di V s corrisponderanno entro V r 

 oc'"- i_J wì le quali descriveranno una varietà V r -i ', se le varietà di S uscenti 

 da un punto hanno oo ft punti comuni (&.> 0) costituenti una varietà 7r k , 

 col variare del detto punto entro V s la V,-_i descriverà entro V r un sistema 

 algebrico co s_7£ , che diremo R , birazionalmente identico alla varietà delle n n . 

 Dimostriamo che se uno dei due sistemi R od S è costituito da varietà 

 tutte equivalentij anche l'altro è totalmente contenuto in un sistema lineare. 



Ammetteremo dapprima ì = 0 k = 0 e che le varietà e n k si riducano 

 ciascuna a un punto cioè che i sistemi E, ed S siano semplici. Supposte tutte 

 equivalenti le varietà di R , scegliamo entro S un sistema oo' r di indice v 

 e di genere n e una curva D che tagli la varietà generica di S (e quindi 

 di r) in n punti. Alla curva D corrisponderà entro la V r un sistema <x> 4 

 contenuto in R e di indice n , e al sistema r una curva C del genere n 

 che taglierà in v punti la varietà generica di R . Le varietà del sistema J 

 segneranno sulla curva C gruppi di v punti di una serie di indice n con- 

 tenuta in una serie lineare, perchè le varietà di R sono equivalenti. Per il 

 teorema di Castelnuovo questa serie avrà dunque 2n[y-{-rt — 1] punti doppi ; 

 esistono cioè 2n [y -f- n — 1] varietà di 4 che toccano la curva C . A queste 

 varietà corrispondono entro la V s i punti della curva D per cui passano due 

 varietà di T infinitamente vicine, cioè i punti d' incontro di D con l'inviluppo 

 di r . Per il teorema del n.° precedente, il sistema T è contenuto totalmente 

 in un sistema lineare, e perciò le varietà di S sono tutte equivalenti. 



Applicando il criterio generale di Torelli (cfr. Torelli, 1. c.) relativo ai sistemi al- 

 gebrici di gruppi di punti più volte infiniti, si vede similmente che : « Se si indicano con 

 Mi m,i ... m r — i gli ordini delle rispettive varietà Y r -2 , V?— 3 , ... V 0 intersezioni di 2 . 3 , ... r 

 varietà generiche del sistema (supposto semplice), dimodoché sarà m r -i il suo grado, ed 

 ammesso che non esistano elementi multipli con ranghi maggiori dell'unità, gli ordini 

 delle varietà W r -2 , W r -s , ... W 0 luoghi dei punti per cui passano rispettivamente 

 3, 4, ... , r — (— 1 varietà infinitamente vicine del sistema non possono superare rispetti- 

 vamente i numeri im x {y -\-2n — 2] , 4m 2 [V -\-Sn — 3] , ... [r-\-\)m r -,[y-\-rn— r]; quando 

 uno di questi limiti è raggiunto, lo saranno anche gli altri, e il sistema sarà contenuto 

 in un sistema lineare ». 



(') Cfr. Severi, Il teorema di Abel ecc. (1. e). 



Rendiconti. 1907, Voi. XVI, 1° Sem. 121 



