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4. Prima di passare al caso generale, sarà utile dimostrare un lemma, 

 sui sistemi algebrici composti. Si abbia entro una varietà Y r un sistema 

 algebrico irriducibile oo s , che indicheremo con E , di varietà V r _! , tale che 

 le oo 5-1 varietà V r _i uscenti da un punto generico di V r abbiano comune 

 tutta una varietà (riducibile o irriducibile) contenente quel punto, (per 

 2 = 0 la M; si riduca a un certo numero di punti) ; io dico che se le va- 

 rietà di E sono equivalenti, il sistema lineare minimo definito da E è 

 'pure composto con le varietà <w; . 



Indichiamo con |E| il sistema lineare minimo oo { contenente E e rife- 

 riamo proiettivamente le varietà di |E| ai punti di uno spazio lineare S t . 

 Alle varietà del sistema algebrico E corrisponderanno i punti di una V s 

 irriducibile e appartenente ad S t ; alle <x> s ~ l varietà di E uscenti da un 

 punto P generico di Y r corrisponderanno i punti della V s _! intersezione 

 della V s con un certo iperpiano n . Se le oo'- 1 varietà del sistema |R| uscenti 

 da P non contenessero tutta la «j , scegliamo un punto T della a>j che non 

 sia comune alle dette co 1-1 varietà; ad esso corrisponderà in S ( un iperpia- 

 no x distinto da n e contenente tutta la V s _i intersezione di n con la V s . 

 Ne consegue che la V s _i apparterrebbe al più ad un S t _ 2 e quindi la varietà 

 irriducibile V s apparterrebbe al più ad un S f _i contro l'ipotesi che sia oo f 

 il sistema lineare minimo cui appartiene il sistema algebrico E . 



5. Eitorniamo ora al caso generale in cui i sistemi E ed S non siano 

 semplici e, ricordando le notazioni del principio del n.° 3, indichiamo con 

 Y*_, e con V*_,, le varietà, in corrispondenza razionale in un sol senso con 

 le varietà date, immagini rispettive delle totalità delle e delle n k , e 

 con E* ed S* i sistemi algebrici semplici di varietà V r -i-i e V s _ ft _i tra- 

 sformati di E e di S . Supposte equivalenti le varietà - di E , al sistema 

 lineare minimo contenente E, sistema composto con le &>; , corrisponderà 

 in V*_ ( un sistema lineare contenente il sistema algebrico E* ; ne consegue 

 che S*, e perciò anche S , è contenuto in un sistema lineare. 



6. Supponendo che il sistema algebrico E , considerato come varietà oo s -' c 

 di elementi, sia una varietà regolare, la Y*_ k , birazionalmente identica ad E , 

 sarà regolare ; ed allora il sistema S* e perciò anche S e quindi E saranno 

 contenuti totalmente in un sistema lineare. Possiamo dunque enunciare il 

 seguente corollario : 



« Entro una varietà qualunque ad r dimensioni J un sistema algebrico oo s 

 di varietà ad r — 1 dimensioni, il quale, considerando le sue varietà come 

 elementi, sia una varietà regolare ad s dimensioni, è contenuto totalmente 

 in un sistema lineare (') ». 



(i) Per r = 2 s = 1 si ha un noto teorema di Enriques. Cfr. Enriques, Un'osserva- 

 zione relativa alla rappresentazione parametrica delle curve algebriche (Rendiconti di 

 Palermo, 1896). 



