Le (6) e (7) si integrano immediatamente e danno, tenendo conto della 

 condizione iniziale, 



(8) W 0 (0 = ^(1-^0, 



(9) W„(0 = - \xv k e-^ (V™ du f U W ;zi. ( -!lf r . 



Jo y u — v 



È conveniente per il nostro scopo dare alle W n (t) un'altra forma va- 

 lendosi della funzione 



già introdotta dal Basset. 



La <t>(t) è una funzione del suo argomento sempre finita per valori po- 

 sitivi comunque grandi, e si annulla tanto per t = 0 quanto per t = qo . 

 La sua derivata prima si può mettere sotto la forma 



(11) Q\t) = ±-h><P(t)\ 



yt 



da cui apparisce che essa è sempre finita, per t positivo, salvo che per t = 0, 

 dove diviene infinita di ordine \. 



Ciò posto, riprendiamo la (9) ; invertendo l' integrazioni con la regola 

 di Diriclet essa può essere scritta 



i. • ri rt fi*. 



W n (t) = - f iv i e-™ \ WU^rf*) -y=J^=, 

 -o j? y u — % 



ma è anche 



P e 1 ™ du C'-' gV*^+$ , 



- = — ^— d^e-™ ®{t — r), 



1/S 



quindi risulta 



(12) W„(Ó = — M fV^ (*)<*>(* 



a cui, con una integrazione per parti, notando che W„^(t) d>(i — t) è nullo 

 ai limiti, si può dare l'altra forma 



(12)' W«(f) = — fiv 1 fV^^-iliif. 



Jo 



Si ricordi ora che per due qualsivogliano funzioni reali H (x) , h (x) 

 (finite o no, purché) integrabili insieme ai rispettivi prodotti e quadrati in 



