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un intervallo / , L , vale la diseguaglianza fondamentale di Schwarz 



(13) 



E(x) h(x) dx 



'-. E(x) . dx . J^ L h(x) . dx 



Poniamo in questa per H(x) il prodotto f(x).g(x) (con /' , g nuove 

 funzioni integrabili insieme ai loro quadrati e quarte potenze) ed estraendo 

 la radice quadrata, osservando che per la (13) stessa è 



f\x) . g{x) dx. 



y f(x) dxy ' ^ g(x) dx 



otteniamo 



(14) 



f{x) g(x) h(x) dx 



j/ f{x) dx . j/ g{x) dx . j/ h{x) . dx 



Ora nell'intervallo o , t la <t>'(t — r) è finita, fuorché per z = t, ove 



diviene infinita come — — — . Quindi se si indica con p un numero posi- 

 yt — t 



tivo e comunque piccolo, il prodotto (t — t)p <I>'(t — r) è funzione integra- 

 bile nell' intervallo 0 , t insieme al proprio quadrato ; d' altra parte, per 



p <^ - , è anche (t — t)~p integrabile insieme alla sua quarta potenza. Ri- 

 tenendo pertanto che sia p un qualunque numero positivo minore di ^ pos- 

 siamo applicare la diseguaglianza (14) alla (12)' scritta sotto la forma 



(12)" W M (0= )W n _ l {T).^ — rt)-P(-~ ! iv^(t — r)P0'(t — T))dT, 



facendo corrispondere W„_)(t) alla /, la (t — t)~p alla g, e la — (iv* X 

 X (t — %y d>'(t — r) alla h. 



Se si osserva che, prefissato un valore T a piacere, per t <C T i due 

 integrali 



J~t ri 2 



{t — r)-^dr , fi 2 v(t — ry-P <P'(t — t) dv 



restano finiti, si ottiene 



(15) | W n {t) < C ' Wn-iW . dv > 



designando C una opportuna costante positiva (che può dipendere da T ma 



