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dopo di che, con ovvio passaggio al limite, si ricava dalla (12) 



(p(.x) 



u(x) — x-\- 



ip(x , u) 



7. Per una generica funzione continua F(w 

 in causa della (21), 



(22) ¥(u , x) = lim ~E(y n , x 



Ora, ponendo 



(23) g 0 = F(i Jì ,x) = $(x, 



(24) g m = ~F(y m+l , x) — F(y m , x) (t 



la somma g 0 -f- g l -}- • • • + gn-i si riduce a F( 

 vale a 



(IV) 



0. 

 c. d. d. 



57), si ha manifestamente, 



= 1,2,...), 



n , #), sicché la (22) equi- 



Ammessa la derivabilità di F, si ha dalle (34) e (16) 



(24') 



I ~òU \u=n 



(m = 1 , 



3nte al solito intorno Hi . 



1)F 



?alori assoluti di — al 



con t] m compreso fra y m+l e y m , e quindi apparte 



Se si indica con N il limite superiore dei 



variare degli argomenti entro Ri , si ha in partidlare dalla (24' 

 (24") |0«|<N|«r m | (m = l,2 



talché lo sviluppo (IV) ha lo stesso comportamerp della (20), rispetto alla 

 convergenza. 



8. Il metodo delle approssimazioni successi^ ci ha così fornito degli 

 sviluppi, tanto per la radice u(x) della (I), qu;ito più generalmente per 



validità e della conve- 

 anzi più vantaggiosi di 



una qualunque ~E(u , x). Dal punto di vista del 

 nienza numerica, questi sviluppi sono altrettani 

 quelli differenziali, precedentemente costruiti. 



Infatti ó m contiene a fattore y> m (x), e per 

 dine dei termini, ci troviamo nelle stesse condizio 

 tivo riesce anche più spedito, e. per la validità d procedimento, basta lar 

 gamente (come tosto apparisce dalle proprietà incate nei nn. 6 e 7) che 

 la funzione <p ammetta derivate continue dei pr 

 derivata prima finita, rapporto ad u. 



Gli sviluppi differenziali (II) e (III) esigo 

 derivate d'ordine tanto più elevato, quanto più 



nseguenza, quanto all'or- 

 Inoltre il calcolo effet- 



i due ordini, la F(u , x) 



invece la esistenza di 

 procede nello sviluppo. 



