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Ove si ponga 



(15) 2/1=^ = ^0, 



(16) ym+x—ym = d m (m = 1 , 2, . . .), 



(17) 2ip(x,yJip(v,y m - l ) ==Tm (Wj== 1 ' 2 ' ' ' > ' 

 la formula, ora trovata, piò essere scritta più semplicemente 



(18) d m = T m .y{%.ó m _ ì (m = 2 ,3., .. .), 



mentre, avendo riguardo ala (11) o alla prima delle (12), la prima delle 

 (16) porge . 



Sostituiamo, in uni 18) generica, per d m -\ l'analogo valore, e così 

 successivamente, finché si sia ricondotti a d x , da sostituirsi a sua volta 

 mediante l'espressione (.9). Si ottiene 



(18 ' } dm = Xì yx',x) m <S>m{x) (^ = 2 ' 3 ---). 



Le (17) mostrano che, uanto a valore assoluto, nessuna r m può superare 

 L 2 



il prodotto di — per ilaassimo valore di y>" entro Hi. Chiamando T questo 

 prodotto, e tenendo presnte che anche 



i — r~ — ri '~ r - L , 

 \\p{x ,x)\ 



le (17) e (18) somminia - ano in particolare la disuguaglianza 



(19) |J m | < lE m ~ l \<p{x)\ m m = l,2,...). 



Siccome (p(x) è zero per?; = x 9 , così esiste un intorno di x 0 , entro cui . 

 il prodotto T \<p{x)\ si mntiene minore dell'unità. Entro questo intorno, la 

 serie di termine generale^ converge colla rapidità di una progressione geo- 

 metrica. 



La somma di tale "rie non è altro che la funzione y = u(x), defi- 

 nita dalla (I'), o, se si 'iole, dalla (I). 

 Sia infatti 



00 



(20) u(x) = ^jn à m . 



o 



Per le (15) e (16), i somma dei primi n termini della serie vale y„. 

 Per la convergenza, 



(21) \im y u = u(x); 



