Per un'altra y qualunque, sia ad es. la y^ , basta supporre di aver 

 fatta la verifica fino ad y m , con che 



\y(x,y 



ad L. La corrispondente (12), scritta sotto la firma 



si può ritenere inferiore 

 mi 



dà poi luogo alla disuguaglianza caratteristica 

 \y m+x — x a \ < (1 +ML 



Soffermiamoci un momento a stabilire una )roprietà della ip. Conside- 

 riamo perciò la differenza <p(x) — g>(z), nell' ipot si che x , z sia una coppia 

 qualunque di valori, appartenenti ad H t . Usufr.endo dello sviluppo abbre- 

 viato di Taylor del second'ordine, potremo scrivi: 



>ym) 



h. 



re 



(f{x) — (f{s) = {x — $) <p'(z) -f - 



con « compreso fra z ed x, e quindi interno anch'esso ad H, 

 Si ha d'altra parte dalla (IO) 



~ò1p{x , z) 

 ~ÒZ 



(z — x) 2 



donde, per confronto colla precedente, 



(14) 



!>y{x,z) 1 m „ 



Ciò posto, si sottragga da una generica (12) queja, che la precede. Si ha 

 y m+1 —y m = — — )xp(x \/ m ) — W(x , y m - y ){ . 



V(*,y«)-V(*»y»-i) f 



Per il teorema del valor medio, la differen in parentesi può essere 

 posta sotto la forma 



dove z m rappresenta un qualche valore appartene 

 fra y m ed y m ^). 



A norma della (14), applicata al valore z 



y"^) . a 



2xp(x,y m )f(x,y m ^) f (Pm Vm ~ x) 

 (ra = 2,3,4,...), 



ym+\ y« 



e ad (perchè compreso 

 i 2, si deduce 



con w m contenuto in Hj . 



Eendiconti. 1907, Voi. XVI, 2° Sem. 



