resta finita e continua anche per y = x, e che, per x , y convergenti ad x 0 , 

 essa si avvicina al valore l-\-(f'(<v 0 ) [non nullo, per la disuguaglianza fon- 

 damentale (1)], possiamo anche dividere per tp, ed avremo 



(T) ^-^ + -77^ = 0. 



Definendo ora delle approssimazioni successive mediante le formule 

 (11) yi==x, 

 (,2) , + ^ 5 _ 0 (M = 1, 2 ,...), 



queste risultano iucondizionitamente convergenti in un conveniente intorno 



di x 0 . 



Per dimostrarlo, comirciamo collo scegliere, entro H, un intorno H! 

 tale che, per x , y compres:' in H, , tp(x , y) (che non si annulla per x = 



= w = x 0 ) si mantenga diversa da zero ; anzi sia , — : inferiore ad un 



numero positivo L. 



Si dica poi M un limiti superiore dei valori di \<p'{x)\ entro Hi . Avremo 



\(f{x, — y>{x 0 ) | .< M \x — x 0 \, 



ossia, per essere <p{x 0 ) = 0. 



y(x)\ <M\x — x 0 \. 

 Scegliamo ancora un mmero h abbastanza piccolo perchè il segmento 



(1 + ML)/i, 



portato nei due versi, a patire da x 0 , sia tutto interno ad H, . 

 Con questa definizione di /ì, la disuguaglianza 



(13) |i — z 0 \^-(l + ML) h 



assicura che y è contenuto mtro Hj . 



Per brevità, introdurrei anche un terzo intorno H 2 di x 0 , di ampiezza 

 non superiore ad h. 



Siamo adesso in gradi di accertare che, se x appartiene ad H 2 , y 2 e 

 così tutte le successive ?/ m :adono entro H, . 



Si osservi all'uopo eh la prima delle (12), badando che yi—%, dà 



y{x , x) 



donde, per le ipotesi fatte, 



\y 2 — x 0 \ < i + ML)|.r — % 0 \^(1 +ML) h, 

 che è appunto la disuguaglnza (13), relativa ad y 2 . 



