non solo pel tramite di u, ma anche esplicitamente, e possegga del resto 

 le proprietà qualitative, già ammesse per f{u).\ 



Eipetendo le considerazioni del n. 2, si iaccerta ovviamente che, al 

 posto delle (5) e (7), valgono le relazioni: 



[F(tt , X)~]oc=x v — ¥{x , X,) = F j oc 



Se ne ricava lo sviluppo cercato 



F(w , x) = P j « , x -j- y 



b + SP(#)(. 



(III) 



l 



+ X m (-i) ra ^r D 



dove la forma di R w , analoga alla (8), è 



Anche qui basterebbe attribuirgli la forma di 

 esso contiene 9)" a fattore. 



Sviluppi fomiti dal metodo delle approsimazioni successive. 



5. Volendo risolvere la (I), rispetto ad z/,per approssimazioni succes- 

 sive, la via più naturale sarebbe di porre 



Lagrange per accertare che 



ecc. ; in generale 



yi = x, 



tjm+i = x — (f{y m ) (m = 



Ma un tale procedimento non riesce sempre coyergente : converrebbe intro- 

 durre l'ipotesi addizionale [ (f'(x 0 ) \ < 1 • 



6. Si evita ogni difficoltà col seguente arjfìzio. 



Operata, se occorre, quella tale sostituzme lineare, per cui riesce 

 (f(x a ) = 0 , scriviamo la (I) sotto la forma 



y — xAr <p{y) — y(x) + <k) = 0 , 



e raccogliamo, nei primi quattro addendi, y —0 a fattore. 

 Notando che la funzione 



(10) 



ip{x ,y) = \-\- 



,2,...) 



(f(y) - (f(x) 

 y-x 



