3. La (II) è la formula, cui ho alluso in principio. 



Il termine generale di posto m esimo ha l'espressione comodissima 



(-ìr^D-yo,). 



Come si vede, esso dipende dalle derivate di f e di <f fino all'ordine m, 

 e contiene g> m a fattore. 



È facile mettersi in condizioni, nelle quali quest' ultima circostanza 

 equivale al requisito tipico dello sviluppo di Taylor: termine m esimo d'or- 

 dine m (almeno) rispetto ac x — x 0 . 



All'uopo hasta operare preventivamente nella equazione (I) una sosti- 

 tuzione lineare sulla variabili y, scambiando y in y — y 0 -j- x 0 . L'equazione 

 trasformata è ancora del tno (I) e presenta la particolarità che il valore y 0 

 di y, corrispondente ad x 0 , coincide con x 0 medesimo. La (I) stessa implica 

 allora y>(x 0 ) — 0 , e siccomì <p è dotata, per ipotesi, di derivata finita, ne 

 consegue che <p{x) è di prm'ordine almeno, rispetto alla differenza x — x 0 . 



Risulta così <p m d'ordiie -> m , e con esso il termine 'm esimo dello svi- 

 luppo (II). L'analogo terrone della serie di Lagrange ha invece l'espressione 



Quindi si eseguisce la detrazione indicata, rimane in generale a fattor co- 

 mune soltanto la prima poenza di (p . 



Si noti che, quando si assume la (I) sotto forma tale che y 0 coincida 

 con x 0 , l'ipotesi compierne tare, richiesta per la validità dello sviluppo (II) 

 (che cioè X\ = x -f- <f{x) d x appartengano contemporaneamente all'in- 

 torno H), si trova senz'alro soddisfatta. Infatti, annullandosi (f(x) per 

 x = Xo,Xi tende ad x 0 asseme ad x. Basta quindi prendere x abbastanza 

 prossimo ad x 0 per far sì ae x^ ed x cadano entrambi in H . 



Quanto al resto R n , Ir (S') mette senz'altro in evidenza che esso è 

 d'ordine -> n . 



La prima forma (8) mrita invece interesse sotto altro punto di vista. 

 In essa è precisata la dipedenza funzionale, mentre nella (8') compare la 

 funzione x 2 , di cui a prioi si sa soltanto che ha valore numerico compreso 

 fra x ed X\ . 



Giova perciò ricorrere alla (8) quando per es. (ammessa, se occorre, 

 l'esistenza di ulteriori deriate di 9 e di f) si abbia da derivare lo svi- 

 luppo (II) rispetto ad un cialche parametro. 



4. Estensione dello si'uppo. 

 Indicherò anche una esensione della (II). 



Si tratta dello svilupj. di una funzione F(u,x), che dipenda da x, 



