1. Sia y>(y) una finizione della variabile (diciamo reale, per fissar le 

 idee) y, la quale, in uu certo intorno del valore y 0 , si mantenga finita e 

 continua, assieme alle sue derivate prima, seconda, ecc., fino ad un generico 

 ordine n{>- 1) . 



Supposto che 

 (I) l + ^o) + 0, 



consideriamo l'equazione 



(1) y-* + spCy) = o, 



e chiamiamo x 0 il valore d z, che essa fa corrispondere ad y 0 . 



Nell'intorno della coppa x 0 , y 0 , la (I) definisce univocamente tanto or 

 in funzione di y, quanto aiche, per la disuguaglianza (1), la funzione in- 

 versa y di x. Designeremo h prima con x = v{y), la seconda con y — u(x). 

 Si noti che la v(y) è esplidtamente fornita dalla (I), ed ha l'espressione 



(2) Hy) = y + <p(y). 



Le fatte ipotesi assicuauo notoriamente che entrambe le funzioni u{x), 

 v(y) risultano finite e contnue assieme alle loro derivate, fino all'ordine n , 

 in due certi intorni H e I di z 0 e di y 0 rispettivamente. Ed è anche le- 

 cito ritenere (limitando coivenientemente questi intorni H e K) che, per 

 ogni x compreso entro H ,y = u(x) cade entro K, e che reciprocamente 

 x = v(y) resta compreso il H, al variare di y entro K. 



Per essere u e v funzimi inverse, varranno poi le identità 



(3) 



y = u\v{y)[ , 

 x — v \ u(x)\ , 



coll'ovvia limitazione che gliargomenti y ed x appartengano rispettivamente 

 ai campi K ed H, in cui secondi membri hanno effettivo significato. 



2. Ciò premesso, prentamo a considerare una funzione f della radice 

 u(x) della (I), nell' ipotesi ;he f{u) sia, rispetto all'argomento u, finita e 

 continua, assieme alle primi n derivate, per u = y 0 , e in tutto l' intorno K 

 di questo valore. 



Se si tien conto che, i variare di x in H , u(x) varia entro K, la f(u) 

 si potrà anche risguardarecome funzione di x, finita e continua, assieme 

 alle sue prime n derivate, nell'intorno H di x 0 . 



Fissiamo un generico alore x, e poniamo 



(4) a=v{x) = x -\- y{x) . 



Ammesso che x ed x x appt-tengano entrambi ad H , potremo applicare alla 

 funzione f]u(x)\, nell' intesilo, che va da x x ad x, lo sviluppo abbreviato 

 di Taylor, dell'ordine n — . 



