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marino fra la Sicilia sud-occidentale e l'Africa?... Sarà opportuno divedere 

 come si comporta la gravità sulla costa di Tunisia, e allora si potrà forse, 

 con maggior fondamento, porre in relazione tali fatti gravimetrici coi con- 

 cetti geologici che si contrastano il campo nell'ardua questione riguardante 

 la possibile antichissima continuità della Sicilia coll'Africa, e nelle conse- 

 guenti congetture di sollevamenti od abbassamenti dell'interposto fondo 

 marino. 



Matematica. — Sul problema di Cauchy. Nota del dott. Eu- 

 genio Elia Levi, presentata dal Socio Lumi Bianchi. 



1. Data una . equazione alle derivate parziali di ordine n in m variabili, 

 il problema di Cauchy consiste, come è noto, nel determinarne una soluzione 

 che su un'assegnata varietà iniziale ad — 1 dimensioni prenda valori as- 

 segnati insieme colle sue derivate di ordine <. n — supposto che i valori 

 assegnati siano compatibili coli' equazione alle derivate parziali medesima e 

 coli' ipotesi di essere i valori delle derivate di una funzione di m variabili 

 su una varietà ad m — 1 dimensioni (') — . Ed è pure noto che, quando 

 l'equazione sia analitica, la varietà iniziale sia analitica, ed infine siano 

 pure analitiche le funzioni assegnate su essa, esiste una ed una sola fun- 

 zione analitica che risolva il problema — purché gli elementi di ordine n 

 determinati dalla varietà iniziale e dalle funzioni assegnate su essa non siano 

 mai caratteristici per l'equazione (in particolare quindi che la varietà e le 

 funzioni assegnate iniziali non costituiscano una molteplicità caratteristica). 



Ma quando ci poniamo dal punto di vista delle funzioni di variabile 

 reale, i risultati sono ben più scarsi; sia che, tolta la condizione che l'equa- 

 zione ed i dati iniziali siano analitici, ci chiediamo se esiste una soluzione 

 che soddisfaccia alle condizioni del problema {teorema di esistenza) ; sia 

 che, pure ammesso, ove occorra, che l'equazione ed i dati iniziali siano 

 analitici, chiediamo se esistano altre soluzioni oltre a quella analitica di cui 

 il teorema sopra rammentato ci assicura (teorema di unicità). Chè se la- 

 sciamo da parte il caso in cui il problema si può ridurre, senza introduzione 

 di variabili immaginarie, alle equazioni alle derivate ordinarie — come ad 

 esempio quando l'equazione è alle derivate parziali di 1° ordine — nulla 

 è noto all' infuori delle equazioni di secondo ordine di tipo iperbolico in due 

 variabili e di alcune loro estensioni, per cui servono i metodi di Picard e 

 di Kiemann ( 2 ). 



(') Cosicché se l'equazione è lineare nelle derivate di ordine n basta assegnare sulla 

 varietà iniziale i valori delle n — 1 prime derivate normali. 



( 2 ) E le loro notevoli estensioni ai casi di più variabili che si raggruppano attorno 

 al metodo del Volterra, ed alle equazioni in più variabili e di ordine superiore dovute a 

 Bianchi, Niccoletti, Fubini, Delassus, Le Eoux ecc. 



