— 106 — 



Nella presente Nota vorrei esporre alcune considerazioni che mi paiono 

 atte a mostrare che non nella imperfezione dei nostri mezzi di studio, ma 

 nella natura medesima della questione sta la ragione delle difficoltà incon- 

 trate fin qui nella estensione del teorema di esistenza al caso delle funzioni 

 di variabile reale: in quanto che, per restare ad esempio nel caso delle 

 equazioni del secondo ordine in due variabili indipendenti, il problema di 

 Cauchy non ammette in generale soluzione per le equazioni di tipo ellit- 

 tico e parabolico. Invece il teorema di unicità pare rimanga vero, almeno 

 per ipotesi estesissime. 



Nel n. 2 richiamo brevissimamente gli enunciati noti relativi al tipo 

 iperbolico, soprattutto perchè dall' immediato confronto risultino più chiare 

 le differenze che presentano i tre casi. I risultati dei nn. 3 e 4 relativi al 

 tipo ellittico hanno la loro base nel carattere analitico delle soluzioni di 

 queste equazioni: essi sono quindi noti nella loro essenza: non credo che 

 però ne siano mai state esplicitamente tratte le conseguenze qui indicate : 

 specialmente quelle del n. 4. Del tutto nuove, per quanto semplici, sono 

 invece le considerazioni dei n. successivi relative alle equazioni paraboliche. 

 Noterò subito che, trattando delle equazioni paraboliche, mi sono limitato 

 all'equazione del calore, sia per la imperfezione delle nostre conoscenze re- 

 lative a questa classe di equazioni, sia perchè mi parve da preferirsi in 

 questa Nota la brevità e la semplicità alla generalità dei risultati. 



2. Le equazioni iperboliche. — Teorema di esistenza. — Per le 



equazioni che si possono ridurre alla forma ^ S = F ( % , y , z , — — , — ) il 

 H * ~òx ~òy \ J ~òx ~òy / 



teorema di esistenza si stabilisce — con poche ipotesi relativamente alle 



derivate della F e delle funzioni iniziali — col metodo delle successive 



approssimazioni del Picard ('). 



Teorema di unicità. Il metodo delle successive approssimazioni del 

 Picard dimostra nello stesso tempo il teorema di unicità per le equazioni 

 della forma rammentata precedentemente : perle equazioni lineari può anche 

 servire il metodo di Riemann. Fondandoci sul teorema di unicità relativo 

 alle equazioni lineari, si può dedurre il teorema di unicità per le equazioni 



generali della forma F [x , y , z , — , — , -^4 > ^ " > \ — 0 , le quali 



° \ i. l>y ~òx 2 l>x l>y ~ò?f J 



abbiano nell' intorno del sistema dei dati iniziali le caratteristiche reali e 

 distinte — ammesso naturalmente che tanto la F quanto la soluzione di 

 cui si vuol dimostrare 1' unicità abbiano un conveniente numero di derivate 

 che qui non precisiamo ( 2 ). 



(') Cfr. la Nota di Picard in Darboux, Théorie des surfaces, tomo IV, pp. 353 seg. 



(") Hadamard. Lecons sur la propagation des ondes. Nota I, pp. 352-354. 



