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3. Le equazioni ellittiche. — Ricordiamo che se una equazione 



/ ^Z_ W ~Ò 2 Z ^\_ 0 



dove la F è una funzione analitica, è ellittica in un certo campo, ogni sua 

 soluzione finita e continua insieme colle sue derivate prime, seconde e terze 

 è una funzione analitica di x ed y. Se la F è lineare nelle derivate seconde, 

 per modo che l'equazione si possa ridurre nella forma 



~ò 2 Z . ~ò 2 2 / ~ÒS l)g\ 



~òx 2 ' ly* \ J Dx ~òy/ 



è necessario solo supporre che la soluzione abbia derivate prime e seconde 

 e continue ('). Da questo teorema segue subito il 



Teorema di unicità. Se su una curva AB analitica del piano xy 

 è assegnata una serie (S) semplicemente infinita di elementi del secondo or- 

 dine analitica essa pure, e soddisfacente alla F = 0 e tale che nell' intorno 

 di essa l'equazione sia ellittica, esiste una sola soluzione finita e continua 

 colle derivate prime seconde e terze la quale contenga (S). 



Ed invero pel teorema di Cauchy esiste intanto una soluzione z t ana- 

 litica in un campo contenente nel suo interno AB la quale contiene (S). Ove 

 esistesse un'altra funzione z 2 anche solo da una parte di AB e contenente (S), 

 noi la potremmo prolungare al di là di AB colla funzione Zi ed otterremmo 

 così una nuova funzione z 3 finita e continua colle sue derivate prime, se- 

 conde ed anche terze (poiché queste su AB sono univocamente determinate 

 dai dati iniziali) in un campo contenente nel suo interno AB. Quindi pel 

 teorema richiamato sopra, z 3 sarebbe analitica regolare nei punti di AB : 

 quindi coincide con Si in virtù dell'ordinario teorema di unicità di Cauchy. 



Ove l'equazione sia lineare, dal teorema precedente si possono escludere 

 le condizioni relative alle derivate terze. 



4. Sul teorema di esistenza. — Richiamando ora un complemento del 

 teorema precedentemente citato relativo al carattere analitico delle soluzioni 

 delle equazioni ellittiche, ci sarà del pari facile dimostrare che il problema 

 di Cauchy non ammette soluzione quando si assegni che sulla curva ana- 

 litica iniziale AB la soluzione debba ridursi ad una funzione analitica 

 dell'arco AB, mentre la sua derivata normale debba ridursi. ad una fun- 

 zione non analitica dell'arco medesimo. 



Per le soluzioni dell'equazione £ = 0 > non è questo che una imme- 

 diata conseguenza del noto teorema dello Schwarz ( 2 ) secondo cui una fun- 

 zione armonica, che sopra una curva analitica AB si riduca ad una funzione 



(') Bernstein S., Sur la nature analytique des solutions des équations etc. Matli. 

 Ann. 59. 



( : ) Cfic ad es. Picard, Traité d'Analyse, II, Gap. X : l a ed. pag. 269-272. 

 Rendiconti. 1907. Voi. XVI 2° Sem. 15 



