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analitica dell'arco è funzione analitica regolare di x ed y nei punti dell'arco 

 medesimo : e quindi in particolare anche la sua derivata normale è funzione 

 analitica regolare dell'arco medesimo. Questo teorema si estende agevolmente 

 alle soluzioni delle più generali equazioni ellittiche con ragionamenti affatto 

 simili a quelli usati dal Picard e dal Bernstein per dimostrare il carattere 

 analitico delle soluzioni di queste equazioni; onde segue la nostra afferma- 

 zione. 



5. Le equazioni paraboliche. — Ci limiteremo, come già dicemmo, 



~ò 2 Z ~i)Z 



alle equazioni del tipo — j = a — , dove a è una costante ; od anche all'equa- 



~òx~ ~òy 



zione — - = — , poiché con una semplicissima trasformazione delle coor- 



~òx 2 ~ìy 



dinate si può sempre ridurre quello a questo ultimo caso. 



È noto che le soluzioni dell'equazione — = — non sono in generale 

 funzioni analitiche delle variabili x ed ?/('). Noi dimostreremo che però: 



~ò 2 Z ~bZ 



se una soluzione dell'equazione = ~ ammette in un campo r del 



piano xy derivate prime finite e continue rapporto ad x e y, 



1°, essa ammette le derivate successive di qualunque ordine; 

 2°, sopra ogni segmento di retta caratteristica y = cost interno 

 a r, è funzione analitica della variabile x. 



Sia infatti M = (x , y) un punto interno a T: sia r la caratteristica 

 per M ; presi su r due punti A = (a , y) , B = (b , y) (a <C x<C b) l'uno da 

 una parte, l'altro dall'altra di M, si conduca un arco s che congiunga A 

 con B, sia interno a r e stia tutto al disotto di r. È noto che, se la z è 



~ò 2 Z ~i)Z 



funzione di x ed y soddisfacente all'equazione — - = — , finita e continua 



~òx ~òy 



insieme colle sue derivate prime in r, detto Xi y x un punto mobile su s. 

 il valore di s in M = (xy) è dato da (-) 



i r e «y-M 



(1) AXlJ) ~ 2\ìn X^JZTy-^ 



l>z(xi y x ) 



~òX i 



•(xx y x ) £ cos nx — z(x x y x ) cos »yj ds 



(') Cfr. Volterra, Lecons sur Vintégration des équations di/fé re ntielles etc. professées 

 à Stockholm, pag. 70. 



( 2 ) Che per la validità di (1) sia sufficiente la continuità delle derivate prime risulta 

 evidente dal modo in cui (1) si deduce. Invero se v e u sono soluzioni delle equazioni 



= 0 , 4- = 0 finite e continue colle loro derivate prime e quindi 



Dx\ òyi ìx-! ~ ì>y x * 



ancora colle derivate - — , , in un campo S limitato da un segmento AB di ca- 



