— 109 — 



n indicando la normale a s nel punto x x y x diretta verso l'interno. Risulta 

 subito da questa formula che le derivate successive rapporto ad x esistono, 

 poiché si ottengono semplicemente derivando sotto il segno integrale : basti 

 notare che la curva s non dipende da x ma solo da y e che, per ogni punto 

 xy interno ad AB, la funzione sotto il segno è finita e continua insieme 

 con tutte le sue derivate rapporto x nell' intervallo di integrazione. Si po- 

 trebbe dimostrare direttamente che esistono anche le derivate rapporto ad y 

 e quelle miste; però è più semplice osservare che ciò è conseguenza dell'equa- 

 zione medesima per cui ognuna di queste derivate è uguale ad una conve- 

 niente derivata rapporto ad x soltanto. 



Sulla medesima formula (1) si fonda la dimostrazione della seconda 

 parte dell'enunciato. Chiamiamo s 6 il tratto dell'arco s che sta al disotto 

 della caratteristica 3/1 = 2/ — e : e poniamo 



(X— X, )- 



ir e 4( ^.> 

 **(xy) = -— / = , x 



2\/n J.n fy — yy 



{.Viziai Vi) i sic — Xi~] . . ) , 



X \ ' z\X\ y\) cos nx — s{x\ yi) cos ny \ as. 



( l ^1 y yi _J " ) 



Si avrà evidentemente per x reale 



(2) z{xy) — \imgi{xy). 



e=0 



Si immagini fissato y ; per ogni coppia di valori di X\ ed y x apparte- 

 nenti ad s (con y x =f=.y) ^ fazione sotto il segno d' integrazione è funzione 



ratteristica e da una curva s che ne congiunga gli estremi stando tutto al disotto di esso 

 si ha 



0 



= i \ v - — — u — — cos ncci — uv cos nv l ■ as + uv dx . 

 J s \[_ Da?, D^J * j ' J AB 



Ponendo u = — — e "C* -3 ', 5 a >> x , v = z e facendo tendere a ad y — supposto 



2 y n Y a — yj 



che xy tenda ad un punto interno ad AB — si deduce (1). Cfr. Volterra, loc. cit., pp. 65-66. 

 Si deduce di qui che neppure occorre che ambedue le derivate siano finite e continue, 



ì)z 2>z 



ma solo che sia finita e continua la — , e che — — la quale in ogni punto uguaglia 



óx òy 



D 2 z 



la r— - per ipotesi — sia atta all' integrazione sia rispetto ad x che rispetto a y e tale che 



% y" ìz 



Dy 



