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analitica di x. Segue che 3t(xy) è funzione analitica di x. Per mostrare 

 l'analiticità della funzione 2 in un punto reale x del tratto a ... b basta 

 mostrare che la (s) vale ancora in un campo complesso contenente nel suo 

 interno x. Si ponga x = x'-\-ix": essendo x interno all'intervallo a ... b 

 si può determinare t per modo che (x — a) 2 e (x — b) 2 siano > t, e preso 

 allora un numero e positivo arbitrariamente piccolo, < r > si consideri il 

 campo complesso C dei valori di x tali che (x — a) 2 — x'" 1 , (x' — b) 2 — 

 — x" 1 ^ cr x sarà contenuto in C. La formula (2) risulterà evidente, 

 osservando che se x è in C ed x x y x su s , la funzione sotto il segno d' in- 

 tegrazione è finita e continua e tende a zero uniformemente col tendere di 

 y x ad y , e cioè che tendono a zero 



1 



Vy — yi 



X X \ 



(g-«i) a 



Si scelga un numero £ tale che quando y>.^>y — £, il punto (xi y x ) di s 

 sia tale che x x sia compreso in uno degli intervalli 



(« - Kf=iì "~ {" + W=r^ • (» - jjizrg) — (* + 



e si supponga y^>y\^>y — £• Si ha allora 



(-■•--■>-) >~ 

 *<-y~yO 



(ar— #1 )-— a: 



Uy-yJ 



e quindi ancora le funzioni in questione sono in modulo inferiori a 



1 



g 8 (!/-J/,) 



\/y — yi 



= Q 8 ()/-!/,) 



e quindi tendono uniformemente a zero col tendere di y x ad y ( 2 ). 



(') Un campo contenuto in questo e di più facile concezione geometrica è il qua- 

 drato che si ottiene nel piano delle x conducendo le due rette inclinate di 45° sull'asse 

 reale per i punti a-f-j/<r e b — \/<j. 



( 2 ) Si riconosce che questo teorema comprende come caso particolare un noto teo- 

 rema di Weierstrass {Ueber Functionen einer reellen Verànderlichen, Beri. Sitz. 1885, 

 Werke, voi. 3). Se ne possono dare varie estensioni: ad esempio la stessa dimostrazione 

 vale a dimostrare che anche le soluzioni delle equazioni della propagazione del calore 



in 2, 3... variabili ^cioè le equazioni del tipo J t u = -^y^ sono sempre funzioni anali- 

 tiche delle variabili diverse da t. Una estensione che presenta qualche maggiore diffi- 

 coltà è invece quella ad equazioni paraboliche più generali: per es. all'equazione con ter- 

 mine noto. Il risultato resta vero (sotto certe condizioni circa il termine noto); si possono 

 seguire per stabilirlo metodi analoghi a quelli indicati da me nello studio delle solu- 



