7. Dopo ciò, siamo senz'altro in grado di dimostrare il 



Teorema di unicità. Sia un arco MN del piano xy che mai 

 tocchi nè incontri due volte una caratteristica: se due soluzioni z(xy) 



Z\(xy) dell'equazione — finite e continue insieme colle loro 



derivate prime, hanno gli stessi valori su MN e gli stessi valori pren- 

 dono pure su MN le loro derivate normali, esse sono identiche in quella 

 parte del campo comune di esistenza, che è interna alla striscia compresa 

 fra le due caratteristiche per M ed N (*). 



Basterà in vero mostrare che una soluzione z x dell'equazione che si 

 annulli insieme colla sua derivata normale su MN e sia finita e continua 

 in un certo campo, è necessariamente nulla in tutta la parte del campo di 

 esistenza contenuta in quella striscia. Supponiamo infatti per maggior ge- 

 neralità che il campo di esistenza di & x si stenda da una parte sola di MN : 

 sia MCN un arco di curva interno al detto campo ed alla striscia: dimo- 

 strerò che la funzione z x è nulla nell'area compresa fra MN ed MCN. Si 

 prolunghi Z\ al di là di MN colla funzione identicamente nulla. La funzione 

 così ottenuta è finita e continua colle sue derivate prime nel campo compreso 

 fra le due caratteristiche per M ed N e MCN . Su ogni caratteristica com- 

 presa nella striscia essa è quindi funzione analitica di x ; ma essa e le sue 

 derivate sono tutte nulle nei punti di MN: quindi è identicamente nulla. 

 Quindi infine anche z v è nulla nel campo MCNM, c. v. d. 



Sul teorema di esistenza. Ma è ora facile trovare dei casi 

 in cui il problema di Cauchy non ammette soluzione. Si prenda come 

 arco MN un segmento di parallela all'asse delle y: per es. un segmento 

 dell'asse delle y medesimo. Se una soluzione z(xy) esiste in un campo 

 MCNM ad es. a destra di MN ed ha la derivata rapporto ad x nulla su MN , 

 la si potrà prolungare a sinistra di MN. Basterà porre z( — xy) = z(xy): 

 otterremo così una soluzione z(xy) finita e continua insieme colle sue deri- 

 vate prime in un campo contenente MN nell'interno. Nei punti di MN z 

 ammette quindi tutte le derivate successive. Non esiste quindi funzione al- 

 cuna che soddisfaccia all'equazione -^4 = — e su MN , mentre soddisfa 



H Dx 2 ~òy 



zioni delle equazioni ellittiche {Sulle equazioni lineari alle derivate parziali totalmente 

 ellittiche, Rendiconti Lincei, sei - . 5 a , voi. 16, 1° sem. 1907, pag. 932): spero di poter 

 tornare fra breve in altro lavoro su questo argomento. 



( l ) Si noti che condizione essenziale è che MN incontri una volta sola le caratte- 

 ristiche : ove incontri due volte ogni caratteristica, il teorema di unicità si ha già quando 

 siano dati i soli valori della funzione su MN. Cfr. Volterra, loc. cit., pag. 64. 



