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alla condizione — = 0 , si riduca ad ima funzione che ammetta le deri- 



vate fino ad un ordine w^>l, ma non le derivate (m-\-l) esime ('). 



E questa osservazione si può estendere : non esiste alcuna soluzione 



dell'equazione — -= — la quale su MN, mentre ha la derivata rapporto 



~òjc~ ~òy 



ad x funzione analitica di y, si riduca ad una funzione di y che ammetta 

 derivate prime, ma non tutte le successive derivate. 



Osservazione. — È chiaro che il teorema di unicità e pure queste ul- 

 time considerazioni sul teorema di esistenza valgono per le equazioni più 

 generali 



~ò.v 2 ly nXJ) ' 



(') Possiamo trovare anche dei tipi di funzioni iniziali non ammissibili i quali 

 abbiano tutte le derivate. Per es. sia P = (0, J) un punto di MN; non può esistere una 



soluzione z che, mentre su MN deve soddisfare la -— = 0. su MP soddisfaccia a 2 = 0 



e su PN si riduca alla funzione f(y) = e ' v ~ h . 



Infatti possiamo, come si vide, supporre che z esista in un campo r contenente MN 

 nell'interno. Nel campo comune a T ed alla striscia é compresa fra le caratteristiche 

 per P ed M, per il teorema di unicità, z è identicamente nulla. Per avere il valore in 

 un punto Q = (0,2/,) di PN si prendano sulla caratteristica per Q due furiti A = (a ,y) 

 e B = ( — a , y) simmetrici rapporto a Q, si conducano per essi le parallele all'asse delle y 

 e siano Aj = (ab) , B, = ( — ab) i punti in cui queste incontrano la caratteristica per P. 

 Si applichi la (1) del n. 6, prendendo per s l'arco formato da AAi ,BB, e da una curva 

 che unisca Ai con Bi restando in J. L'integrale esteso a questo ultimo tratto è evidente- 

 mente nullo onde in (1) restano solo gli integrali estesi ai tratti AA 4 e BBi : ricordando che 



\ i \ M— ay) ìz(ay) 

 .(-«,„)-,<£),— 



si avrà 



1 T C\ e 4t!/ -V ìz(ay) , . f », e iiy ~ y ^ 



ìz(ay) , . f », e ^"V . . . "I 



Quando tende a b i due integrali del secondo membro divengono infinitesimi di or- 



rv x e 4(y_ V rv x e 



dine >. di quello di J ~fy == ~ ^ ' J (y,— y)»fi ' dy ' 11 prim ° dl questl inte " 

 grali è per y, = 3 infinitesimo di ordine > del secondo. Ma quest' ultimo poi è infinite- 



simo di ordine _> e 4Vj ' b) |/y,— i come si vede con una integrazione per parti. Quindi 

 lo stesso sarà di z. 



Mae b è per y, = b infinitesimo di ordine < e 4(I/ ' lA/i — b quale che sia a 2 ; 



quindi la funzione z non può su PN diventare uguale a e Vv b . 



