tale gruppo può contenere al massimo 7* — - trasformazioni indipendenti 



e queste in un punto generico possono essere tutto al più del prim' ordine. 



2. Per un teorema del prof. Fubini (') un gruppo di movimenti intran- 

 sitivi si può ridurre con un opportuno cangiamento di variabili ad un gruppo 

 transitivo su un minor numero di variabili. Inoltre un gruppo semplicemente 

 transitivo, per un teorema del prof. Biancbi ( 2 ) si può considerare sempre 

 come un gruppo di movimenti ; perciò basterà occuparci dei gruppi una volta 

 transitivi, dei gruppi cioè, cbe oltre n trasformazioni di ordine zero (nel- 

 l'origine) contengono ancora delle trasformazioni di 1° ordine. 



Di queste trasformazioni di 1° ordine si possono determinare i termini 

 di primo grado. Infatti se supponiamo che le linee coordinate nell'origine 

 sieno ortogonali tra loro a due a due (come possiamo sempre fare) e quindi 

 sia a ik = 0,1 (per Xi = ■ ■ • = x» == 0) secondochè i =j= k o i = k , le (3) ci 

 dicono, che se la trasformazione X è di prim' ordine nell'origine, e per 

 conseguenza le £ nell'origine stessa son nulle, si deve avere 



X=fcJx i ^-xM\ + ... 



ih \ òXif 



I gruppi che dobbiamo considerare avranno dunque per generatrici 

 n -f- s (s > 0) trasformazioni del tipo 



ùXi j7 ; \ òX~k OX ; J 



dove le parti tralasciate sono almeno di 1° grado nelle x per le P ; , e di 

 2° per le X ; ( 3 ). Se poniamo 



le trasformazioni così ottenute formano un gruppo di rotazioni. Per determi- 

 nare dunque tutti i gruppi di movimenti si dovranno considerare tutti i tipi 

 di gruppi di rotazioni su n variabili, tipi, che come ho detto, si deducono 

 immediatamente dai risultati della mia Memoria citata. Presone uno qua- 

 lunque e sostituitene le rotazioni generatrici al posto delle Xj, con che 

 le Cun divengono note, si determinino dalle identità Jacobiane tutte le 

 composizioni dei gruppi compatibili con la forma indicata. Si noti per 

 questo, che ciò richiede solo operazioni algebriche, e che sono, per la 



(') Fubini, Sugli spazii, che ammettono, ecc. (Ann. di mat., ser. 3 a , voi. IH), n. 1. 



( s ) Bianchi, Sugli spazii a 3 dimensioni, ecc. (Memorie della Società It. dei XL, 

 ser. 3 a , tomo II, 1897). 



( 3 ) Cfr. Fubini, Sulla teoria degli spazii, che ammettono un gruppo conforme (Atti 

 di Torino, voi. 38, 1903), n. 6. 



