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forma stessa delle trasformazioni, note le alternate tra due X , e che delle 

 alternate tra una P ed una X si conosce la parte, che contiene le P stesse. 

 Per ognuna di queste composizioni basterà poi determinare un particolare 

 gruppo, chè gli altri per un teorema del Lie (') saranno tutti simili ad 

 esso. Fatto questo per tutti i possibili tipi dei gruppi di rotazione su n 

 variabili si hanno tutti i tipi possibili dei gruppi di movimenti cercati : 

 ma osserviamo che i gruppi così trovati son tutti effettivamente gruppi di 

 movimenti. Per vederlo basta rammentare un altro teorema del prof. Fubini ( 2 ) 

 secondo il quale, perchè un gruppo transitivo si possa considerare come gruppo 

 di movimenti, occorre che quel suo sottogruppo r, che lascia fermo un punto A 

 determinato, in cui il gruppo è regolare, trasformi in sè stessa ciascuna 

 quadrica di un sistema di quadriche omotetiche infiuitamente vicine ad A. 

 Ora questo è evidente nel nostro caso, quando si prenda per il punto A 

 l'origine. Nel modo detto si trovano dunque tutti e soli i gruppi di movi- 

 menti una volta transitivi su n variabili: volendo poi gli elementi lineari 

 degli spazii che li ammettono come gruppi di movimenti, basta integrare 

 le (3) tenendo conto delle condizioni iniziali, che si hanno per le a<*. 



3. Come esempio applichiamo il metodo al caso di n = 4 ( 3 ). 



1 gruppi di rotazioni possibili su 4 variabili sono i 6 seguenti : 



1°) Xijh — Zìih -\-a{x z pi"— x A p 3 ); 



3°) x x p% — XtJ)\ , x ì p 3 — x 3 p l , Xìp 3 — x 3 p 2 ; 



4°) #ii>2 — ZsPi -j-X 3 Pi — XiPs , Xì}h — X 4 p s — XiJ3 3 + X 3 pi , 



Xi pi — x A pi -f- x 2 p 3 — x 3 pì ; 

 5°) 11 precedente più la rotazione Xip 2 — x t pi — x 3 p A -\- x 4 p 3 ; 

 6°) 11 G c totale : x,p h — XhPì {i , k = 1 , ... , 4 ; i =j= k) ; 

 dove 



4. Cominciamo dal primo: posto 



Pi = Pi + - , X=xi jh — XìPì + aixsPt — x t p 3 ) . 

 Si avrà subito 



(P, X) = P 2 + «X , (P s X) = — P, + /?X , 

 (P 3 X) = aP 4 4-yX , (P 4 X) = — aP 3 + <JX. 



(') Lie, Theorie der Trans fgr. Bd. I, pag. 6!4. 

 (*) Fubini, Sugli spazii...., n. 6. 



( 3 ) La ricerca dei gruppi di movimenti ammessi da S 4 è stata compiuta dal Fubini 

 nella Memoria: Sugli spazii a 4 dimensioni, che ammettono, ecc. (Ann. di mat., tomo IX, 

 ser. Ili, 1903), e completata dall'altra Memoria: Sulla teoria delle forme quadratiche 

 Hermitiane ecc. (Atti dell'Accad. Gioenia, ser. IV, voi. XVII). Noi facciamo nonostante 

 la ricerca per mostrare la rapidità del metodo proposto. 



