Prendendo al posto di P, e P 2 rispettivamente P 1 — /?X , P 2 + aX, si 

 riduce a = /? = 0 : se poi a =(= 0 nello stesso modo si riduce anche 

 y = à = 0 . Dopo ciò dalle identità Jacobiane tra due P e la X si ha 

 subito, sempre se a =j= 0 » 



(P 1 P 2 ) = KX (P3P 4 ) = K,X (P 1 P 3 ) = (P 1 P 4 ) = (P 2 P 3 ) = (P 2 P 4 ) = 0. 



Ed ora scrivendo le identità Jacobiane tra tre delle P si ottiene subito 

 K = Ki = 0 : dunque nel caso di a =j= 0, si può prendere per il gruppo il 

 gruppo 



■ Pi ,pt,p 3 ,p* , ^iPz — x 2 pi aixsPi — XtPi) ■ 



Ma allora lo spazio ammettendo le trasformazioni p x , p % ,p 3 ,p 4 è 1' S 4 eucli- 

 deo ('), ed il gruppo di movimenti considerato non è quello completo am- 

 messo dal gruppo: sicché si può tralasciare intanto il caso di a=j=0. 

 Nel caso di a = 0 , si può supporre come abbiamo detto 



(P»X) = P 2 , (P,X) = — P, , (P 3 X) = yX , (P 4 X) = <JX. 



Dalle identità Jacobiane tra due P e ia X vien subito y — ó = 0 : 

 scrivendo poi le altre identità Jacobiane si trovano possibili quattro casi 



1°) 



(PtP.) = 



0 (P, P 3 ) = «Pi , (P, P 3 ) = «P 2 , (P, P 4 ) = /SPi , 







(P 2 P 4 ) = #P 2 ,(P 3 P 4 ) = 0; 



2°) 



(PiP 2 ) = 



«P 3 + KX , (Pi P 3 ) = (P 2 P 8 ) = (Pi P 4 ) = 







= (P 2 P 4 ) = (P 3 P 4 ) = 0; 



3°) 



(P|P.)iF= 



0,(P,P 3 ) = «P, ,(P 2 P 3 ) = «P 2 , 







(P, P 4 ) = (P 2 P 4 ) = 0 (P 3 P 4 ) = «P 4 ; 



4°) 



(PiP s ) = 



cP 4 ,(P 1 P 3 ) = aPi,(P 2 P 3 ) = aP2, 







(Pi P 4 ) = (P 2 P 4 ) — 0 (P 3 P 4 ) = - 2«P 4 . 



Il primo caso però si può comprendere nel terzo; ciò è evidente se a — 0 ; 



o 



se invece ce 4= 0 , basta sostituire a P 4 la rotazione P 4 P 3 per rendere 



a 



P = o. 



Nel secondo caso per il gruppo si può prendere il gruppo 



j 1 -f- — {x\ — x\) j i?r+ "2 Xl x *P* — 2 x '* P* » 

 \ 1 + J ^ — 4) ^.f g ' r > x * PA +2 Xl ]h ' 



(') Bianchi, op. cit , a. 16. 



Rendiconti. 1907, Voi. XVI, 2° Sem. 



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