Dall'equazioni di Killing si trova allora per lo spazio corrispondente 

 l'elemento lineare 



Il gruppo poi è completo tutte le volte che a e K non son nulli ambedue. 

 Nel terzo caso per il gruppo si può prendere il seguente 



Pi , Pt , p* , Ih + «(#1 Pi + x 2 Pt) + ax A Pi , Xy p-i — Zi Pi , 



e per lo spazio corrispondente si trova l'elemento lineare 



Il gruppo è completo tutte le volte, che non è a = a: in quest'ultimo caso 

 1' S 4 è a curvatura costante ed ammette quindi un Gr 10 e non solo un G, . 

 Infine nell'ultimo caso per il gruppo si può prendere 



c c 



Vi — g %*P* ,P* + 2 Xi P A '^s+a^i^i + XìP%) + 2ax i p i ,]h , Xi p». — x t pi , 

 e l'elemento lineare dello spazio corrispondente risulta allora 



Il gruppo è certo completo quando si escluda che sia c = 0 o a = 0 , 

 in caso cui si rientra nei precedenti. 



5. Veniamo ora al secondo dei casi enumerati : posto allora 



+ > Xi = #i jp» — + •" - X s = # 3 J04 — #4 Ps + - , 



poiché (X,X 2 ) = 0, si potrà supporre come sopra 



+ 



ds 2 = r^{dx\ + dxl) + dal + e~ 2aa: > dx\. 



(P l X,) = P t ,(P t X ì ) = — 



P,,(P 3 X 2 ) = P 4 ,(P 4 X 2 ) = -P 3 . 



Ed ora basta scrivere le solite identità Jacobiane per avere 



(P, P 3 ) = (P, P 4 ) = (P, P 3 ) = (P 2 P*) = 0 , (P, P s ) = K, X, , (P 3 P 4 ) = K 2 X 2 . 



