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Un gruppo di questa composizione è dato dal gruppo 



j 1 — y (#1 + #1) j Pi + y %i{x\ Pi + x 2 p%) (i = 1,2), 

 jl — — 2 (x\ + xt) ìPi + y Xi ( x * P 3 + x * P*) (« = 3,4), 



X\P% XìP\ i X% P\ <^4^3) 



L'elemento lineare dello spazio, che lo ammette come gruppo di movimenti, è 



ji + f K+-*t)f ji + f(^ + -^)| 2 ' 



ed il gruppo di movimenti è quello completo ammesso dallo spazio, se non 

 è K,=--K 2 = 0. 



6. Passiamo al terzo caso: posto allora 



?i=Pi + r -Ji = l,l,£) 



X, = Xi pi — x 2 pi + ••■ , X 2 = a?i ^ 3 — ^3^ 2 -f- •■• , X 3 = x x p% — ^ 3j Pi + ••' 

 si ha 



(X, X 2 ) = X 3 , (X 2 X,) = X, , (X 3 X,) •■= X, . 



Inoltre nel solito modo si potrà supporre 



(P, X,) = P 2 , (P, X 3 ) = P 3 , (P 2 X.) = — + aX 2 + bX 3 . 



Poiché se al posto di Pi , e P 2 si prendono rispettivamente Pi -\- «X 2 -j- /SX 3 , 

 e P 2 — «X 3 -f- /SX 2 le formule precedenti non cambiano, si potrà anche sup- 

 porre 



(P 1 X 1 ) = «,X 2 + « 2 X 3 . 



Scrivendo ora le identità Jacobiane tra una delle Vi , P s , P 3 e due 

 delle X, si trova 



a = b = di — a 2 = 0 



e quindi 



(P 2 X 1 ) = -P 1 ,(P 1 X 9 ) = 0, 



ed anche 



(P<, X 2 ) = P 3 , (P 3 X 2 ) = — P 2 , (P 3 X 3 ) = -P 1 ,(P 3 X 1 ) = (P 2 X 3 ) = 0 . 

 Ponendo poi (come certo si può fare col prendere convenientemente la P 4 ) : 

 (P 4 X,) = «X 1; (P 4 X 2 ) = /9X t + yX 2 , 



e scrivendo le identità Jacobiane tra P 4 e due delle X si ha subito 

 « = £=^ = 0 e (P 4 X0 = (P4X 2 ) = (P 4 X 3 ) = 0. 



