Dalle tre equazioni 



((P, P 2 ) X 2 ) = (P, P 3 ) , ((P, P 3 ) X,) = - (Pi P 3 ) , ((P> Ps) X 3 ) = 0 , 

 viene subito 



(P 1 P 3 ) = aP 2 -f-KX 3 . 

 Ma prendendo al posto di Pi , P 2 , P 3 rispettivamente Pi — \ X 2 , P 2 -4- ~ X 3 , 



Li L 



P 3 — ^X, si rende a = 0 senza alterare le altre formule, dopo di che si 



u 



ha subito 



(P, P 2 ) = KX, , (P, P,) = KX 2 , (P, P 3 ) = KX 3 . 

 Scrivendo le identità con P 4 si trova anche 



(P x P 4 ) = (P 2 P 4 ) = (P 3 P<) = 0. 

 Un gruppo con la composizione trovata è il gruppo 



Pi i = jl — ^ {x\ + x\-{- Pi+ 2 Xi ( Xx Pi + + ^3jo 3 ) ,(e = l,2,3) 



P 4 =p* ; 



X l = a: l p2 — x z pi , X5. = ^ 2 ^ 3 — x 3 p 2 , X 3 = x x p 3 — x 3 pi ■ 



Lo spazio che lo ammette come gruppo di movimenti, ha per elemento 

 lineare 



^ dx\ + da* + dx\ ì + dxìì 



jl+ f (xì + x\ + xl)\ 



ed oltre quelle non ammette altre trasformazioni, a meno che sia K = 0 

 7. Nel quarto caso si avrà 



p i =Pi + '"• (* = 1 1 - , 4) , X, = .r,jo 2 — Xzpi -+- x 3 p 4 — x 4 p 3 + - , 



X 2 = ^2 j» 4 #4 J>» — d?l /> 3 + #3jt?l + - , 



X 3 — XiPi — XiPx -\- Xip 3 — x 3 p2 + • • 



con 



(Xi X 2 ) = 2X 3 , (X 2 X 3 ) = 2Xi , (X 3 Xj) — 2X2 • 

 Si potrà supporre allora 



(P,X0 = P 2 , (P 1 X 2 )=-P 3 , (P I X 3 ) = P 4 . 



Se poi è 



(P, XO = - P, + «X, + £X 2 + yX 3 , 

 pur di prendere al posto di P, , P 2 , P 3 , P 4 ordinatamente 



P 1 _«X 1 +|x, + £x, , P 2 _^X 3 + |^X 2 , 



P 3 + 2«X 3 + |^X 2 , P 4 + 2«X 2 -^X l5 



