senza alterare le altre formule si rende a = § = y = 0 . Dopo ciò viene 

 facilmente dalle identità Jacobiane 



(P 2 X,) = P 4 , (P 2 X s ) = P 3 , (P 3 X,) = P 4 , (P 3 X 2 ) = P a , (P 3 X 8 ) = — P, 

 (P 4 X,) = — P, , (P 4 X s ) = - P 2 , (P 4 X 3 ) = — P, . 



Ma in tal caso si ha per es. ((P, P 2 )X,) = 0 onde (Pj P 2 ) = aX, ; ana- 

 logamente (P, P 3 ) = bX 2 , (P, P 4 ) = eX 3 , (P 2 P 3 ) — dX 3 , (P 2 P 4 ) — eX 2 , 

 (P 3 P 4 ) = fX x . Basta ora scrivere le identità tra tre P per trovare a = b = 

 = c = d = e = f=0; perciò potendo porre P, — fi , lo spazio, che am- 

 mette un tal gruppo è l'Euclideo. Questo caso si può dunque tralasciare. 



8. Nel quinto caso oltre le 7 trasformazioni del numero precedente ce 

 n'è un'ottava, cioè 



X 4 = X\ Pi — %ìPi — X 3 pi ~\~ Xif> 3 -j- ••• , 

 essendo (X,- X 4 ) = 0 (i = 1 , 2 , 3) . 



Come nel caso precedente ci si può ridurre al caso, che sia 



(p, x,) = p 2 , (p, x 3 ) == — P 3 , (P, x 3 ) = p 4 , (P, x,) = - p, , 



dopo di che si trova facilmente 



(p s x 2 ) = p 4 , (p, x 3 ) = p 3 , (P 3 xo = p 4 , (P 3 x 2 ) = p, 



(P 8 X 3 ) = - P 8 , (P 4 X.) = — P, , (P 4 X 2 ) = - P 2 , (P 4 X 3 ) = - Pi • 



Dalle due equazioni 



((P,X 4 )X,) = (P 2 X 4 ) , ((P 2 X 4 )X,) = -(PiX 4 ) 



viene 



(((P, X 4 )X 1 )X,) = -(P,X 4 ), 



e perciò 



(P, X 4 ) = — P 2 . 



Analogamente 



(P 2 X 4 ) = -P, , (P 3 X 4 ) = -P 4 , (P 4 X 3 ) = -P 3 . 

 Ora avendosi ((P) P 2 )X!) = 0 se ne ricava 



(P, P 2 ) = a 1 X, + ^ 1 X 4 ; 



ed analogamente si ha 



(P, P,) = a t X 2 + b t X 4 , (P, P 4 ) = a 3 X 3 + b 3 X 4 , (P 2 P 3 ) = a, X 3 + b< X 4 ', 

 (P 2 P 4 ) = a 5 X 2 + è 5 X 4 , (P 3 P 4 ) = a 6 P 1 + è 6 P 6 . 

 Dalle identità tra P, , P 3 , X 4 e Pi . P 4 , X 4 si ricava 



a 3 = a 4 , a x = — a s , b 3 = b 4 , b : == — b 5 



e da quella tra Pj , P 2 , X 2 ed analoghe 



fli = a 3 = — a t = a 6 b 2 — b 3 — 0 b 1 = — b 6 : 



sicché si può porre 



(P, P 2 ) = aX, + bX, , (P, P 3 ) = — aX 2 , (P, P 4 ) = aX 3 , (P 2 P 3 ) = aX 3 

 (P, P 4 ) = «X 2 , (P s P 4 ) = «X, — bX< . 



