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con f positivo : l' integrale è minore di 

 avremo pure 



J = 



-X» 

 4v( 



e di e chiamandolo con rj 5 



Dalle formolo stabilite resulta così che <o[ , e quindi , per r gran- 

 dissimo e t qualunque da 0 a T, si annulla di ordine 2 -\- h almeno: sus- 

 siste dunque per tu, la integrabilità sopra affermata. Una dimostrazione 

 analoga, con poche variazioni, permette di accertare, valendosi della (26), 

 che se w n _ x r l+h resta finito al crescere indefinito di r lo stesso può dirsi 

 per <»„ r M ; conseguentemente le <a„ in generale sono integrabili, insieme 

 ai loro quadrati e quarte potenze, nel campo o . 



Stabilita questa proprietà si osservi che essendo in generale ~H.(r,l), 

 l{r,t) due funzioni reali qualunque (finite o no purché) integrabili insieme 

 ai rispettivi prodotti e quadrati in un'area o, finita o no, sussiste la dise- 

 guaglianza di Schwarz: 



(29) 



J2 r 2 C-* 

 E.l.do < H do . I do 



Poniamo per H il prodotto fg, essendo f,g funzioni integrabili insieme 

 ai loro quadrati e quarte potenze; allora essendo 



> _2 _2 



f -9 do. 



avremo anche 



(30) 



f i« j 



9 do 



fgldoì 



VI?. "i/Ss*)/, fi'* 



Nell'area o le co sono integrabili insieme alle loro potenze; la — 



dove diviene infinita, cioè nel punto t = t , /? = r , lo diviene di ordine y. 

 Se quindi si indica con p un numero positivo qualunque, minore di 74, 



sarà ~q<l — integrabile nel campo o iusieme alla sua quarta potenza, 



e (t — tY 3 z — - lo sarà sino alla seconda potenza per r qualunque ma finito. 

 Si può allora applicare la diseguaglianza (30) all'espressione 



2r\ 'n w n (r . t) 

 ed otteniamo 



\Zr\ln w n (r , *)| 



t)p — - do , 



vs/^VJ^'V^m 



■ do 



