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Fisica matematica. — Sull'equazione differenziale j t u-\- 

 -\-/.u = 0. Nota di Luciano Orlando, presentata dal Corrispon- 

 dente T. Levi-Civita. 



Noi vogliamo trattare una questione che, nelle sue linee generali, è 

 abbastanza conosciuta ( l ) ; ma la semplicità del metodo che qui potremo 

 adoperare conferisce forse opportunità all'esposizione di queste poche idee. 



Indichiamo con x un campo d'estensione finita, per esempio una por- 

 zione di piano, e con <r il suo contorno. Misuri B, il raggio del minimo 



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circolo nell' interno del quale si può racchiudere tutto il campo x : è chiaro 

 che questo circolo è unico, perchè, se ne esistessero due, diversamente posti, 

 il campo x entrerebbe nella regione comune a due circoli uguali, dunque 

 anche in un circolo di estensione minore. 



Avremo bisogno di richiamare la seguente formula di Green 



9 Tn ( l0g \ ~ G ) d * ~I( l0g }~ G h 9dt ■ 



dove G è la funzione di Green, cioè quella funzione monodroma, finita e 

 continua in tutto il campo x, la quale verifica l'equazione J z G = 0 in 



ogni punto interno al campo, e l'equazione G = log - in ogni punto del 



contorno o - ( 2 ). La funzione y> è, sotto note restrizioni, una funzione arbi- 

 traria, e gli altri simboli che figurano nella (I) sono abbastanza conosciuti 

 perchè noi possiamo evitare di darne la spiegazione. 



Noi vogliamo, dopo questa premessa, considerare l'equazione differenziale 



(1) J t u-\-hi = 0, 



dove A è una costante (reale o complessa). Quest' equazione ha molta im- 

 portanza in fisica matematica ; ed è un notevole problema, d' immediata 

 applicazione fisica, quello di trovare i casi d'eccezione relativi a A, cioè 

 quei valori di A, tali che una funzione u, nulla in ogni punto di e, e vin- 

 colata in ogni punto interno a x dalla (1), e da condizioni come quelle 



(') Schwarz, Integration der part. Differentialgleichung — — J— j?tt = 0 unter 



vorgeschribenen Bedingungen, Abhand. Berlin, 1890. 



( 2 ) Alcuni autori definiscono come qui la funzione di Green ; V. per es. Cesàro : 

 Introduz. alla teoria mat. dell'elasticità; Jlarcolongo: Teoria mai. dell'equilibrio dei corpi 

 elastici. Altri autori chiamano funzione di Green ciò che qui chiameremmo G-j-log r . 

 V. per. es. Riemann-Weber, Die part. Differentialgleichungen der math. Physik. 



(I) 2*9> = f 

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