che valgono per <p nella (I), possa non essere in tutto il campo t identi- 

 camente nulla ('). La ricerca di questi valori speciali di X è un problema 

 di lunga e difficile risoluzione. Alcune nuore teorie molto efficaci, contenute 

 in recenti studi ( 2 ), lasciano trattare sistematicamente questo problema; ma 

 noi vogliamo limitarci a una ricerca molto più semplice: vogliamo cioè de- 

 terminare un campo di numeri complessi (cerchio col centro nell'origine), 

 tale che, per ogni valore di X ivi contenuto, l'unica soluzione della (1), cor- 

 rispondente a u — 0 in ogni punto del contorno <r, sia u = 0 in ogni punto 

 del campo t. 



4 



Il raggio di questo cerchio, così come noi lo determineremo, sarà = — , 



dove per R vale la definizione dianzi data. 



Supponiamo dunque che u sia nulla in ogni punto di a. La formula (I), 

 applicata alla funzione u, e l'equazione (1), lasciano scrivere 



Intanto stabiliremo alcune relazioni che ci saranno utilissime. Descri- 

 viamo intorno al polo (r =0) un piccolo cerchio, tutto contenuto nel campo r; 



ed osserviamo che, se il cerchio è abbastanza piccolo, la funzione log - — G 



r 



è certamente positiva sulla circonferenza di questo cerchio; ma è anche 

 nulla sul contorno e, dunque, per note proprietà delle soluzioni della J 2 = Q, 



si può subito asserire che log ^ — G è una funzione positiva nel campo in- 

 terno a t : essa poi tende a -j- oo nel polo. 



Ora chiamiamo g il raggio vettore misurato a partire dal centro del 

 circolo dianzi definito che ha per raggio E. La funzione g 2 sarà monodroma 

 finita e continua nell' interno di t, e potrà figurare al posto di y> nella for- 

 mula (I). Sarà anche J 2 £> 2 == 4 , come è chiaro. 



Supponiamo ancora che H sia una funzione, atta a figurare come g> 

 nella (I), e tale che in ogni punto di t verifichi l'equazione z/ , 2 H = 0, e 

 in ogni punto di a l'equazione H == q*. La formula (I), applicata alla fun- 



(') Vedere per es. Riemann- "Weber, libro citato, voi. 2°, cap. 14°. 



( 2 ) Alludiamo ai recenti lavori di D. Hilbert e della sua scuola. Da tali lavori si 

 è avuta nuova luce in questo campo di ricerche. Nella notevole Memoria del sigi. Erhard 

 Schmidt {Enlwicklung willk. Functionen nack Systernen vorgeschriebener, Inaug. Dis- 

 sert. Gottingen), a pag. 9, § 5, è contenuta una formula, che, paragonata colla nostra (4), 



2 



condurrebbe a una limitazione come la (5): si troverebbe |A| ^^i- Q U1 > in questo caso 

 molto particolare, noi abbiamo potuto trovare una limitazione più vantaggiosa. 



Rendiconti. 190 7. Voi. XVI, 2<? Sem. 33 



