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zione H — q 2 , lascia scrivere 



(3) 2tt(H — « 2 ) = 4j^logì — gW, 



perchè, come abbiamo detto, è J 2 q s = 4:. Ma, per le proprietà dianzi ri- 

 chiamate sulle soluzioni della J s = 0, la funzione H non può avere mas- 

 simi e minimi interni a t, dunque in tale campo non è mai negativa e non 

 supera il massimo R 2 . 



Ma allora dalla formula (3) si deduce subito (') 



Giova rammentarsi che la funzione sotto l'integrale è positiva: dopo ciò 

 vedremo che la relazione (4) ci sarà molto utile. 

 Supponiamo ora che sia 



(5) |2| = 4 



R 



dove a è un numero positivo fisso < 1 . Vediamo come quest' ipotesi ci 

 porta rapidamente ad affermare che la funzione u dev'essere nulla in ogni 

 punto di t. 



Facciamo, invece, l'ipotesi che esista una funzione u, diversa da zero, 

 la quale abbia le proprietà dianzi ammesse; e sia U il limite superiore di 

 \u\ nell'interno del campo t. 



Un ragionamento di successive approssimazioni ci condurrà a quello 

 che vogliamo dimostrare. Poniamo 



27r(« + e 1 ) = 0. 



L'errore 



fi== -%I( l0g ;- G )^ T ' 



che in tal modo facciamo nella determinazione di u, verifica, per le cose 

 dianzi esposte, la relazione 



NOU. 



Se, come seconda approssimazione, poniamo 



27r(u-\-e 2 ) = X JYlogi — GJ (w + f,)^ = 0 , 



(') Se, invece di considerare il circolo di raggio R, avessimo, per esempio, considerato 

 una striscia d'ampiezza X, racchiudente il campo r ; allora parlando della funzione x* invece 



che dalla funzione q 2 = x* -\-y 2 , saremmo giunti alla limitazione ^log~ — d T 

 X* 



<7r — . Si presenta anche facile il caso intermedio di un'ellisse; etc. 



