in cui F, , F 2 , F 3 sono le funzioni armoniche in S e che su a coincidono 

 rispettivamente con g> l , g> 2 , y> 3 . 



È chiaro che il sistema delle (6), (8), (7) è equivalente al sistema 

 delle (9), (7). 



Sostituendo nella (7) si ha: 



e applicando il teorema di Poisson, avremo liquazione : 



(10) (* + !)•-• + è|(^F+^tfD fli ffi 



che corrisponde alla (9) della mia Nota citata. 



Se k è diverso da — 1 , la (10) può scriversi: 



U * 



V 4tt(A+1) 



essa è un'equazione integrale, assai semplice, del tipo di Fredholm. 11 nu- 

 cleo è: 



d 2 r d 2 r d 2 r 



dx d£ dy di] dzd£ ' 

 funzione regolare, armonica in S, e simmetrica nelle variabili (a , y , s) , 



Se invece k — — 1, la (10) diventa: 



C I d * r , d 2 r . d 2 r \ . 



(12) l- — + — z-4--r—rr)0dS = 4n<D, 

 v ; J s \ dx dt 1 dy dij 1 dz d£ )■ 



che non è altro che un'equazione integrale abeliana. 



Il sistema delle (9), (11) [ovvero delle (9), (12)], è equivalente al 

 sistema delle (9), (7), come si riconosce facilmente; perciò risolvendo la 



(11) [ovvero la (12)], e sostituendo nelle (9) avremo le funzioni u,v,w 

 che risolvono la questione proposta. 



3. L'equazione (11) ha una sola soluzione, purché A non sia esattamente 

 un autovalore. A questo riguardo si può osservare che siccome il nucleo 



