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della (11) è una funzione simmetrica, risulta senz'altro, da un noto teo- 

 rema di Hilbert, che gli autovalori dovranno essere reali ; inoltre conviene 

 aggiungere che se per un valore determinato k 0 di k le equazioni (6), (7), 

 (8) hanno una sola soluzione (cioè se le funzioni u , v , w sono identicamente 

 nulle in S, quando <p x , y> 2 , y> 3 sono nulle su <r), allora il valore corrispon- 

 dente X 0 di k non sarà certo un autovalore per la (11), cioè l'equazione 

 omogenea : 



o-x f/-^ + — - + — -^Ws = o 



0 J s \dx d£ dy drj ' dz d£ / 



non avrà alcuna soluzione differente da zero. 



Infatti se quest'equazione avesse una soluzione 0 0 non identicamente 

 nulla, le equazioni (9) darebbero per u , v ,w dei valori differenti da zero, 

 anche nel caso in cui (f x , </) 2 , <p 3 , e quindi F, , F 2 , P 3 sono identicamente 

 nulli, ciò che è contrario all' ipotesi. 



È poi facile stabilire che se k~^> — 1 le equazioni (6j, (7), (8) hanno 

 una sola soluzione 



Si può fare la dimostrazione adoperando le (6), ma è più semplice, e 

 si è condotti in modo del tutto naturale al teorema, facendo una trasfor- 

 mazione, del resto ben nota, delle (6). 



Denotiamo con w, , u> 2 , co 3 le metà delle rotazioni elementari della par- 

 ticella {x , : y , £), cioè poniamo : 



/1Q . 1 Idw dv\ l/du dto\ 1 (do du\ 



(13) a ^l\dy^-Tz) ' W2 = 2\& - "^; ' W3 = 2\dx-dy) ' 



allora le (6) si scriveranno : 



i a\ ^ ~H 1 dd dco 2 do) 3 k -f-_l dti_ . do) 3 dia, 



1 } 2~ dx~^U~ ~dy~~ ' _ Y~ dy~T~~dx~~~ U~ ' '" ' 



che sono appunto le equazioni che ora adopereremo. 



Supponiamo che le funzioni u,v,io siano nulle su a: faremo vedere 

 che saranno identicamente nulle in S . 



Dalle (14) intanto risulta: 



J S \ U \ 2 dx + dz dy ) + 



/A + 1 de dw 3 daA ) 

 + V [—2- Ty + 1^-W) + ^ ! rf S = °' 



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(') Nei lavori del Lauricella è supposto k^> — -, e in quelli del Korn k^>0. 



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Eendiconti. 1907, Voi. XVI, 2° Sem. 34 



