ossia, integrando per parti : 



C { l k + 1 « du . du du\ , 

 )A\^ 6 T X + Wì T Z - W >dy) + 



i (k + 1 « du . dv dv\ .,»),„ 

 ovvero, ricordando le (7), (14): 



6 2 -f o>f + <o\ + «1 [</S = 0. 



Da quest' equazione si trae agevolmente che se k -f- 1 > 0 , le funzioni 

 u,v,w risultano identicamente nulle in S, come si era enunciato. 



4. Il metodo precedente è applicabile, com'è chiaro, al caso di un nu- 

 mero qualunque di variabili. In particolare, per 2 variabili, le equazioni 

 corrispondenti delle (11), (12) sono: 



ove e indica l'area piana che si considera. 



Una volta risolta l'equazione (IT) [ovvero la (12')], e quindi deter- 

 minata la dilatazione 0, si avranno le componenti u , v dello spostamento 

 dalle formol e seguenti, analoghe alle (9): 



j * , ,) = P,(. ,,)+£ £j> log *i° 



Si dimostra ancora, come dianzi, che per k^> — 1 l'equazione (IT) ha una 

 sola soluzione. 



Abbiamo pertanto, nelle (9'), le formolo che danno le componenti dello 

 spostamento longitudinale della piastra elastica piana e, quando sul con- 

 torno son conosciuti gli spostamenti stessi. 



Osservazione. — Abbiamo accennato dianzi al teorema di Hilbert, 

 secondo il quale gli autovalori di un'equazione integrale (3), il cui nucleo 

 f{x , y) è una funzione simmetrica, sono tutti reali. 



Questo teorema è stato di poi dimostrato in modo più semplice da 

 Schmidt e da Picard ('). Orbene, osserverò che non occorrono neanche dimo- 



(') E. Schmidt, Entwicklung willkùrlicher Functionen, etc; Inaugural-Dissertation 

 (Gottingen, a. 1905); E. Picard, Sur quelques applications des équations fonctionnelles 

 de M. Fredholm (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t, XXII, a. 1906). 



