— 338 — 



di una varietà a tre dimensioni si può esprimere mediante il grado e il 

 genere aritmetico del sistema canonico ; mentre il genere aritmetico di una 

 superficie non supera mai il genere geometrico, per una varietà a tre dimen- 

 sioni il genere aritmetico può essere minore, uguale o maggiore rispetto al 

 genere geometrico; mentre una superficie con un gruppo permutabile oo 2 di 

 trasformazioni birazionali (superficie di Picard), ha il genere geometrico di- 

 verso dall'aritmetico, una varietà di Picard a tre dimensioni (varietà con 

 un gruppo permutabile co 3 ) ha i due generi tridimensionali uguali ; ecc. ecc. 



Tuttavia le ricerche che esporrò attorno alle varietà a tre dimensioni, 

 lo studio di qualche esempio e alcune considerazioni generali sulle varietà 

 di dimensione qualunque, permettono d'intravedere le proprietà più notevoli 

 delle varietà superiori, e in particolare mostrano come le analogie più spic- 

 cate si ritrovino tra le varietà la cui dimensione ha la stessa parità. Così 

 ad esempio, per le varietà a quattro dimensioni il genere aritmetico torna 

 ad essere indipendente dai caratteri del sistema canonico. 



Ma di queste analogie mi occuperò nel lavoro più esteso. 



1. Generi virtuali di una superficie — Caratteri di un sistema lineare. 

 Sulle superficie algebriche uno dei concetti più fecondi (dovuto al Noether) è 

 quello relativo al genere virtuale di una curva. Similmente sopra una va- 

 rietà algebrica V a tre dimensioni, si hanno da considerare i generi virtuali, 

 aritmetico e geometrico, di una superficie. 



Tralasciando di definire i generi di una superficie di cui si considerino 

 come inesistenti alcune singolarità, ci fermeremo al caso di una superficie 

 composta di due parti F, F lt Se p a ,p' a sono i generi aritmetici delle due 

 parti e n il genere (virtuale) della curva ad esse comune, il genere aritme- 

 tico (virtuale) della superficie composta è 



(1) X a =Pa-]~Pa-\- TT ('). 



Quanto al genere geometrico (virtuale) della stessa superficie, esso è 

 espresso da 



( 2 ) +?a + »i 



purché però si ammetta che F appartenga ad un sistema continuo (al- 



(') Di questa formula trovasi un caso particolare al n. 4 b) della mia Nota: Su 

 alcune questioni di postulazione (Rendiconti di Palermo, 1903): il caso cioè in cui F, F t 

 costituiscano la completa intersezione di r — 2 furme dello S r . Ma la dimostrazione pel 

 caso generale non è così semplice come lo potrebbe far supporre il fatto che il sig. Pan- 

 nelli nella sua Nota: Sopra alcuni caratteri di una varietà algebrica a tre dimensioni 

 (questi Rendiconti, seduta del 6 maggio 1906), dichiara di averla omessa per brevità. La 

 dimostrazione stessa si troverà (in generale per varietà qualunque) nel mio lavoro più 

 esteso. 



