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meno oo 1 ) di grado >0. Se della stessa proprietà gode anche F 1? si ha 

 naturalmente 



p g ,p'g essendo i generi geometrici di F , F, . 



La forinola (2) si deduce subito dalla (1), in virtù del teorema (di 

 Castelnuovo-Enriques), che avrò occasione di richiamare più tardi, concer- 

 nente l'irregolarità superficiale di V . 



Dato su V un sistema lineare |F|, oltre al genere aritmetico di F (cal- 

 colato riguardando eventualmente come inesistenti alcune singolarità base), 

 si hanno da considerare i caratteri virtuali seguenti del sistema |F|: 



il « grado », cioè il numero delle intersezioni di tre superficie del 

 sistema fuori della base assegnata; 



il « genere », cioè il genere (virtuale) della curva comune a due 

 superfìcie del sistema fuori della base assegnata. 



Si può facilmente dare di questi caratteri definizioni che abbiano senso 

 anche quando |F| ha la dimensione 0 o 1 , analogamente a ciò che si fa 

 sulle superficie. 



Si ottengono immediatamente le forinole che esprimono il grado e il 

 genere del sistema lineare |F -f- Fi| somma di due altri J F | , j IF t J . Quanto al 

 genere aritmetico del sistema somma, esso è dato dalla (1). 



2. Generi della varietà V — Le due irregolarità. Sopra una varietà V, 

 a tre dimensioni, si hanno anzitutto i generi considerati da Noether(') e 

 cioè: 



a) Il genere geometrico tridimensionale P 9 : numero delle superficie 

 canoniche linearmente indipendenti, od anche — sotto forma proiettiva, e 

 supponendo la V, d'ordine n, immersa nella S 4 — numero delle forme ag- 

 giunte d'ordine n — 5 linearmente indipendenti. Il genere P s è invariante 

 rispetto a tutte le trasformazioni birazionali delle varietà (Nòther, Enriques). 



b) I caratteri del sistema canonico (genere superficiale, genere e 

 grado). Si può dare di essi una definizione aritmetica, considerandoli come 

 caratteri delle superficie (virtuale, per V g = 0) F' — F , ove F r è una su- 

 perficie del sistema aggiunto ad |F|. Si ottengono allora tre invarianti 

 fì 0 , Sì Y , i2 2 , corrispondenti rispettivamente al grado, genere, genere aritmetico di 

 F' — F . Essi coincidono coi caratteri di Nother quando V sia priva di superficie 

 eccezionali, che entrano come parti fisse in |F' — F|, e quando la superficie 

 canonica sia regolare. Sono invarianti relativi : l'effetto prodotto su essi dalle 

 trasformazioni che introducono superficie eccezionali, è stato studiato dal 



(') Zur Theorie des eindeutigen Entsprechem algebraischen Gebìlde (Mathema- 

 tische Annalen, Bd. Vili). 



