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Pannelli ('). Veramente questi invarianti riduconsi a due soli distinti, perchè 

 sussiste la relazione 



212, — 2 = 3fi 0 , 



che si verifica facilmente ( 2 ). 



Oltre gl'invarianti predettisi ha ancora: 

 c) Il genere aritmetico tridimensionale P„: numero virtuale delle 

 forme aggiunte d'ordine n — 5 linearmente indipendenti. Supposto che la V 

 sia dotata di singolarità ordinarie, cioè una superficie doppia D, con una 

 linea tripla per V e per D , con un numero finito di punti quadrupli per V 

 e per la linea tripla e sestupli per D , le forme aggiunte a V soddisfano sem- 

 plicemente alla condizione di passare per D . Detta tp (l) la postulazione 

 della D per le forme d'ordine l assai alto, il genere aritmetico di V viene 

 espresso dalla forinola 



Ira il genere aritmetico tridimensionale P 0 e gl'invarianti 12 0 ,.Q, ,fi 2 

 — i quali coincidono rispettivamente col grado, col genere e col genere 

 aritmetico del sistema canonico tracciato sulla varietà V, quando questa 

 sia priva di superficie eccezionali — passa la reiasione fondamentale 



(3) 2P a = fi 0 — fi, + fi 2 + 4 , ovvero : 4P a = 2SÌ 2 — S2 0 -\- 6 ( 3 ) 



La via che si presenterebbe più naturale per verificare la (3), sarebbe 

 di esprimere la postulazione g> e gl'invarianti fi, mediante i caratteri proiet- 

 tivi della superficie doppia D; ma per quanto sia utile di possedere tali 

 espressioni, a cui una ricerca un po' minuta deve condurre senza gravi diffi- 

 coltà, non è così ch'io ho ottenuto la (3). Darò un cenno più sotto della via 

 seguita, la quale ha il vantaggio di presentare la relazione numerica colle- 

 gata ad un fatto geometrico. Contemporaneamente ne risulterà l'invarianza 

 assoluta del genere aritmetico P 0 , cioè dell'espressione fi 0 — fi, -j- fi 2 -4- 4 ( 4 ). 



Essendo invarianti i due generi tridimensionali, risulta pure invariante 

 la differenza P 3 — P„ , che si chiamerà prima irregolarità o irregolarità 

 tridimensionale della varietà V. 



(') Sopra gl'invarianti di una varietà algebrica a tre dimensioni, ecc. (questi 

 Rendiconti, seduta del 2 giugno 1906). Pel confronto col Nothev (quando V sia priva di 

 superficie eccezionali) si ponga 12 0 = p w , 12, = p w , 12 2 = ^< 1 > , e pel confronto col Pan- 

 nelli 12„ = ^ (s) , 12, = zf< 4 > , !2„ = . Il carattere p< 2 > di Nother (o l'invariante del 

 Pannelli) è uguale a 412 0 -)- 1 , e perciò è superfluo considerarlo. 



( 2 ; Pannelli, l a Nota citata, forinola (23). 



( 3 ) Ero giunto da qualche tempo a questa relazione e l'avevo anche comunicata al 

 prof. Enriques; ma occupato in altre ricerche e desideroso di completare gli studi che 

 avevo intrapreso sulle varietà, ne avevo differito la pubblicazione. 



( 4 ) L'invarianza assoluta di quest'espressione trovasi pure dimostrata, seguendo una 

 via ben diversa, nella 2 a Nota citata del sig. Pannelli. 



