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L'irregolarità tridimensionale può essere anche negativa, cioè il ge- 

 nere aritmetico P a può essere maggiore del genere geometrico Y g , come 

 vedremo su esempi. 



d) Un altro invariante assoluto della varietà V è stato introdotto 

 recentemente dai signori Castelnuovo-Enriques ( 1 ). Estendendo leggermente 

 un teorema dimostrato da questi Autori, si può enunciare che « tutte le 

 « superficie (irriducibili) tracciate sulla V, hanno la stessa irregolarità, appena 

 « si tratti di superficie variabili entro sistemi continui di grado 0 ». Orbene, 

 l'irregolarità di queste superficie, che è poi uguale al numero degli integrali 

 semplici di l a specie appartenenti a V , si chiamerà seconda irregolarità 

 o irregolarità superficiale della varietà. 



3. 77 teorema di Riemann-Roch sopra una varietà a tre dimensioni. 

 Sopra una varietà a tre dimensioni non è possibile assegnare per tutti i casi 

 neppure una disuguaglianza tra la dimensione r di un sistema, i suoi carat- 

 teri n ,n ,p a ,i (grado, genere, genere aritmetico, indice di specialità) e il 

 genere P a della varietà: già lo si arguisce dal fatto che non è possibile 

 assegnare una disuguaglianza sempre valida, tra la dimensione effettiva P 3 — 1 

 del sistema canonico e la sua dimensione virtuale P 0 — 1 . 



Si riesce però a dimostrare che : 



Sopra una varietà algebrica a tre dimensioni V, la dimensione r 

 di un sistema lineare completo |F| di superficie {anche riducibili), il quale 

 si possa considerare come l'aggiunto di una superficie G, appartenente ad 

 un sistema continuo di grado ^> 0 , soddisfa alla disuguaglianza 



(4) r > n — n -4- p a — P 0 -f- 2 , 



ove n ,7Zjp a denotano rispettivamente il grado, il genere, ti genere aritme- 

 tico di [P| e P a il genere aritmetico di V. Esistono inoltre sistemi [P| 

 per cui vale il segno = . 



Un sistema (completo) per cui vale l'eguaglianza, è p. es. quello con- 

 tenente totalmente le sezioni di V , supposta priva di singolarità nello S<j , 

 con le forme d'ordine l abbastanza alto. Si dimostra anzi che il sistema di 

 queste sezioni è esso stesso completo ; e da ciò si deduce la postulazione di V 

 per le forme d'ordine l . 



Il secondo membro della disuguaglianza (4) si deve considerare come 

 la dimensione virtuale del sistema (non speciale) |P|. 



Indicando con p a il genere aritmetico virtuale della superficie G, di 

 cui \¥\ è l'aggiunto, si trova pure 



(5) r>;7 rt -l+P a . 



(') Sur les intégrales simples de première espèce d'une surface ou d'une variété 

 algébrique à plusieurs dimensioni (Annales de l'École normale de Paris, 1906). 



