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In particolare si può scegliere un tal sistema |F| = |G'| che in corrispon- 

 denza ad esso valga il segno = in ambedue le espressioni (4) , (5) , sicché 

 insomma risulti: 



(6) p a — 1 + P a = n — rr + p„ — P (I -f 2 . 



Esprimendo i caratteri n.n,p a di F in funzione dei caratteri analoghi 

 di G e della superficie (virtuale) G' — G , dalla (6) si deduce la relazione 

 fondamentale (3) : 



2P a = Sì, — Sì, + Sì, -f 4 



enunciata al n. 2, c). E una volta stabilita questa relazione si risale da essa 

 alla (6), la quale risulta così dimostrala per ogni sistema aggiunto. 



L'invarianza del genere aritmetico segue dal fatto che P a risulta il 

 limite superiore delle espressioni invarianti r — p a -\-\. 



Dovendosi considerare come dimensione virtuale di un sistema di carat- 

 teri n ,n ,p a , i , l'espressione 



n — Jt *f 'p a — P„ -\- i + 2 , 



la 



P a - 1 = Sì o - Sì , + 9. t - P a + 1 + 2 



risulta la dimensione virtuale del sistema |G' — G|, cioè del sistema canonico 

 (essendo z'=l l'indice di specialità di G' — G). Dunque: 



La relazione fondamentale (3) esprime che il genere aritmetico di V è 

 il numero virtuale delle superfìcie canoniche linearmente indipendenti. 



Della relazione « 2 = cr) 1 — 1 tra i due invarianti del sistema |C — C| 

 sopra una superficie, può darsi notoriamente un'interpretazione analoga. 



4. Relazioni tra certe deficienze e le irregolarità della varietà. Dalla (5) 

 segue anzitutto agevolmente che : 



La deficienza 6 del sistema canonico segato sopra una superficie irri- 

 ducibile G dal proprio sistema aggiunto | G'| , non supera la somma delle due 

 irregolarità q x , q% della varietà, ed esistono sistemi per cui il limite supe- 

 riore è raggiunto 



Ne segue che una varietà d'irregolarità superficiale nulla (q 2 = 0) ha 

 sempre il genere geometrico non inferiore all' aritmetico (q^Yg— P n ~ • ò >.0). 



L'irregolarità superficiale di una varietà V è legata all'esistenza su questa 

 di sistemi continui completi non lineari di superficie algebriche. Si sa anzi 

 che « ogni sistema continuo completo è costituito da oo ! ' sistemi lineari di- 

 stinti, ove i<-q 2 * (Castelnuovo-Enriques). 



Applicando un procedimento già usato con successo sulle superficie (En- 

 riques, Severi), si dimostra facilmente che ogni sistema continuo completo di 

 superficie, tracciato su V, ha il sistema caratteristico completo, donde segue 

 come immediato corollario che : 



