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La deficienza e?, del sistema caratteristico di un dato sistema lineare |F|, 

 appartenente a V, non supera V irregolarità superficiale della varietà, ed 

 esistono sistemi per cui il limite è raggiunto. 



Assai più riposta è invece la dimostrazione di un'ultima disuguaglianza, 

 di cui manca l'analoga sulle superfìcie : 



La deficienza d 2 della serie lineare segata sopra una curva caratteri- 

 stica di un sistema |F| dal sistema |2F|, non supera la somma delle due 

 irregolarità di V ( ó 2 ^ a x -\- q 2 ) ; e vi sono sistemi per cui vale l'ugua- 

 glianza. 



Ne consegue che sopra una varietà completamente regolare, come lo 

 spazio ordinario, per ogni sistema lineare di superficie si ha 8 = c?j = c) 2 = 0 . 



5. Esempi. 1) Varietà V delle coppie di punti di una superficie F e 

 di una curva C. — Ivi si ha un fascio 2, identico a C, di superficie F 0 

 identiche ad F, ed una congruenza lineare n, identica ad F, di curve C 0 

 identiche a C e seganti le F 0 in un punto. 



Dna superficie canonica di V si ottiene aggiungendo alle superficie 

 formanti entro 2 un gruppo canonico ; la superficie riempita dalle ce 1 

 curve che entro n dànno un ente canonico. 



Essendo p g ,p a ,(o gl'invarianti di F e p il genere di C, gl'invarianti 

 di V hanno i valori: 



? 9 =p g p , i2 9 = 6(p — l) (« — ì) ,i2, = 9(p — l) («>-l)+ 1, 

 fl, = 3(jj — 1)(«— 1)+ 2 (^-1)^-}- 2^-3, Y a = (p-l)p a +p. 



E poiché gl'integrali doppi di l a specie appartenenti a V, provengono 

 sia dagl'integrali doppi di F, come dalle combinazioni degl'integrali sem- 

 plici di F e degl'integrali abeliani di C , così il numero di questi integrali 

 vien dato da p g -f- p (p g —p a ). 



Calcolando la differenza tra il numero degli integrali doppi ed il numero 

 degli integrali semplici di l a specie appartenenti a V, si trova preci- 

 samente : 



\Pg +P (Pg —Pa)' — \P + (Pg ~Pa)\ =P (Pg ~pa) +p a —p = ~P g —? a , 



cioè l'irregolarità tridimensionale di V è uguale alla differenza tra il 

 numero degl'integrali doppi ed il numero degl'integrali semplici di l a specie 

 appartenenti alla varietà. 



Quando la F sia regolare con p g =p a ^> 0 e la C razionale (p = 0), 

 si ottiene un esempio di varietà ad irregolarità superficiale nulla e ad irre- 

 golarità tridimensionale j> 0 . 



Nel caso in cui p g = p a = p = \ si ha invece un esempio di varietà 

 ad irregolarità superficiale [> 0 e ad irregolarità tridimensionale nulla. 



Nel caso in cui p g = p 2 = Q , p ^> 0 si ha un esempio di 'varietà 

 col genere aritmetico maggiore del geometrico (P g = 0 , P a = p). 



