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•^j , si possono subito determinare negli stessi punti di a i valori di ^— 



e, a meno di una costante, quelli di V. 



Di qui segue che al problema di determinare una funzione V dei punti 

 del campo S, la quale soddisfaccia alle equazioni: 



(1) (nei punti di S) J*Y = 0, (nei punti di <r) V = /,(«,/?), — =/ g («,/J) , 



con f 1 (a,^),fi(a,^) funzioni finite e continue, arbitrariamente date, delle 

 quali la prima abbia le derivate prime finite e continue, si può sostituire 

 l'altro problema di determinare ima funzione V, dei punti del campo S, 

 la quale soddisfaccia alle equazioni: 



j (nei punti di S) J 4 V, = 0 , 



j (nei 

 dove si è posto: 



\ , ■ y , ^V, lY, -aV, 



i (nei punti di a) = w a , = v a , = w a , 



( ' Ix ly Iz 



lY lY lY 



lx ly Iz 



Infatti, determinato in un modo qualsiasi un integrale V, di queste 

 equazioni, questo differirà dall'integrale V delle equazioni (1) per una co- 

 stante additiva, la quale si potrà determinare tenendo conto del valore di 

 f x {a , /?) in un punto qualsiasi di e. 



3. Se Vi è integrale delle equazioni (1)!, posto: 



~òY\ lY x dV, lu . lv , Iw 9Xt 



U = —r- , V = — , tv — — , e = — -{- — + — = ^ 2 V,, 

 1§ Ir] l£ li 1>] 1C 



risulterà : 



L . .. _ U*,-^ = 0 , J*v-^ = 0 , ^-^ = 0, 

 (nei punti di S) < Is ly 1C 



(nei punti di a) u = u<, , v = y„ , w = w<r , 



(1), 



nelle quali m„ , v a , w<7 sono rispettivamente i valori nei punti di e delle 

 derivate prime rapporto a f , jj , £ di una medesima funzione. 



Viceversa supponiamo che le funzioni u,v ,w formino un sistema di 

 integrali delle equazioni (1) 2 , nelle quali u n , v a , w a siano rispettivamente 

 i valori nei punti di a delle derivate prime rapporto a £ , rj , £ di una me- 

 desima funzione V 2 (?,»?, 0 . 



Posto : 



j)w _ iv lu 



