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Allora si potrà scrivere: 



D(A) = (A — A')'"" 1 . Di (A) , " Di(A') 4= 0. 



Supponiamo che il valore A' sia tale che per il corrispondente valore 

 ìc di k non esistano soluzioni eccezionali delle equazioni (5), ossia che /', 

 o il corrispondente k', non sia un valore eccezionale. Allora dalle (10), (11), 

 (12), (7), risulterà in tutto il campo S: 



P(i- , ri , f ; X) = Q(£ , rj , = R(£ , V , £; a') = 0(£ , , f ; A') = 0 ; 



e quindi, facendo nelle (13) === 1 , otterremo ancora in tutto il campo S 

 per A = X' : 



DP = ^ = DR = D0 = () 

 DA DA DA 7>A — 



Seguitando a fare uso delle (13), con riguardo alle (7)i , otterremo così 

 in tutto il campo S per A = A' : 



yp vq d*r y& _ , . n , _ 



e quindi si potrà scrivere: 



j P = (A - A')<-> . P 1 , Q = (A - A')'-' . Q, , 

 ( ( R = (X — XJ+ 1 . E, , 0 = (A — A')' +1 . 0, , 



con Pi , Q! , Ri , ©i funzioni di f , rj , £ , A della medesima natura di P , Q , 

 R, 0. 



Le funzioni P^Q^Ri,©!, come risulta dalle (9), (10), (11), (12) 

 dividendo per (A — A')' +1 , soddisfano alle equazioni: 



(^P 1 + *^«O f ^Q 1 + A^- , = O f ^B 1 + *2»!= s o 

 , (nei punti di S) i 



(13) 'j 



(nei punti di a) P, = D,(A) . k„ , Q, = D,(A).z; 5 , R, = Di(A) . w a , 



per qualunque valore finito di A, ossia per qualunque valore di k diverso 

 da —2. 



Questo risultato vale anche quando, essendo il valore A' eccezionale, 

 le funzioni P , Q , R , 0 abbiano eventualmente la forma (14). 

 9. Da quanto precede risulta che le funzioni: 



u(g , rj , f ; A) = , a^, rj , C ; A) = - , zy(£ , 77 , f • A) = 



