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sono funzioni meromorfe di X , le quali, per tutti i valori di k per cui 

 non hanno un polo, sono finite e continue in tutto il campo S (i punti 

 di a inclusi), hanno le derivate rispetto a finite e continue in 



qualunque campo interno al campo S, e soddisfano alle equazioni (5). 

 Esse possono avere poli solo per valori eccezionali di k, i quali, nel 

 caso che siano in numero infinito, avranno per unico valore limite il 

 valore k= — 2 . In ogni caso nessun valore eccezionale può appartenere 

 al campo — 1 , co . 



Questo teorema, nel caso particolare in cui le u q , v a , w G sono rispet- 

 tivamente i valori nei punti di e delle derivate prime rapporto a £ , 17 , £ 

 di una medesima funzione, ci dimostra per k = — 1 l'esistenza degli inte- 

 grali regolari delle equazioni (1) 2 ; e così risulta dimostrata l'esistenza 

 dell'integrale regolare delle equazioni (1). 



10. Le condizioni poste in principio sulla natura della superficie e si 

 sono introdotte per dimostrare il precedente teorema relativo agli integrali 

 delle equazioni (5). Qualunque sia la superficie cr , tutte le volte che, in 

 un modo qualsiasi, si conoscono le formole che danno gli integrali delle 

 equazioni (5), il procedimento generale, indicato nei §§ 2, 3, ci dà il 

 mezzo di risolvere il problema dell'integrazione dell'equazione J 4 Y = 0 

 con quadrature. 



Così, ad esempio, nel caso della sfera di raggio E gli integrali delle 

 equazioni (5) per k = — 1 sono ( J ) : 



» 



essendo l'origine degli assi nel centro della sfera e q* = -f- rf + £" 2 - 

 Ponendo in queste formole: 



D\ T dv dv 



lix ly 1)2 



ed eseguendo le opportune quadrature, si ritrova la nota formola che dà 

 l'integrale V delle equazioni (1) per il caso della sfera ( 2 ). 



( 1 ) Lauricella, Sulla àeform.azione di una sfera elastica, ecc. (Annali di Matema- 

 tica, voi. VI, serie 3 a ). 



( 2 ) Volterra, Osservazioni sulla Nota precedente del prof. Lauricella e sopra una 

 Nota di analogo argomento de IV ing. Almansi (Atti della E. Acc. delle Se. di Torino, 

 voi. 31, 1895-96). 



