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Matematica. — Sull'equazione del moto vibratorio delle mem- 

 brane elastiche. Nota di Tommaso Boggio, presentata dal Corrispon- 

 dente Levi-Civita. 



fondamentale nello studio delle vibrazioni trasversali delle membrane ela- 

 stiche piane e tese, ammette, se X è una costante negativa, un solo inte- 

 grale, regolare in un'area piana <r, che sul contorno di essa assume valori 

 dati, mentre invece ciò non accade, in generale, se A è una costante posi- 

 tiva; precisamente, esiste una successione di valori (positivi) di X corrispon- 

 dentemente ai quali esistono integrali u della (1) non identicamente nulli 

 nell'area e, ma nulli sul contorno. 



Questi valori di X e questi integrali u sono, da vari autori, rispettiva- 

 mente denominati valori eccezionali, valori singolari, ecc. e soluzioni ecce- 

 zionali, soluzioni singolari (o fondamentali), ecc.; è però più breve chia- 

 marli invece autovalori e autofunzioni. 



È interessante allora, sovratutto dal punto di vista fisico, determinare 

 il più. piccolo autovalore X x della (1), o almeno un confine, al disotto del 

 quale non cadano autovalori della (1): infatti è noto che all'autovalore X ì 

 corrisponde il suono più grave per il quale la membrana a possa vibrare, 

 per conseguenza, per un valore inferiore di X , la membrana non darà suono 

 alcuno. 



Di tale questione si è occupato incidentalmente il Poincaré ('), asse- 

 gnando (anche nel caso di tre dimensioni, e di condizioni ai limiti più gene- 

 rali) un confine inferiore per X l ; però esso, che è inversamente proporzionale 

 al quadrato del diametro (massima corda) del campo considerato, è poco 

 approssimato, e inoltre per stabilirlo bisogna ricorrere a calcoli assai com- 

 plicati. 



Un'altra espressione più approssimata, è stata ottenuta con procedimento 

 assai semplice dal Picard ( 2 ), il quale ha trovato un confine inferiore inver- 

 samente proporzionale al quadrato della larghezza di una striscia, compresa 



(') H. Poincaré, Sur les équations aux dérivées partielles de la Physique mathé- 

 matique (American Journal of Mathematics, volume XII, a. 1890); Sur les équations de 

 la Physique mathématique (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. Vili, a. 1894). 



( 2 ) Cfr. ad es. Picard, Traité d'Analyse, t. Il, pag. 26 (I 6 édition). 



È notorio che l'equazione: 



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