fra due rette parallele, contenente per intero il campo dato. È chiaro quindi 



che, per quanto grande sia il diametro di tale campo, questo confine infe- 

 riore rimane immutato, purché però il campo sia sempre contenuto entro la 

 striscia considerata, mentre invece, colla disuguaglianza del Poincaré, tale 

 confine tenderebbe a zero. 



In questa Nota mi propongo di assegnare un confine inferiore per ^ , 

 il quale è ancor più approssimato di quello ottenuto dal Picard ; io lo sta- 

 bilisco con due procedimenti completamente differenti : l' uno è fondato sopra 

 un teorema di Schwarz, l'altro è una opportuna estensione del metodo stesso 

 adoperato dal Picard. 



Inoltre assegno pure un confine superiore per l x , e per la somma dei 

 quadrati dei reciproci degli autovalori della (1). Infine estendo al caso di tre 

 dimensioni i risultati ottenuti. 



1. Consideriamo dapprima un'area rettangolare di lati a, b, poi poniamo 

 l'origine delle coordinate in un vertice del rettangolo, l'asse x diretto se- 

 condo il lato a, e l'asse y secondo il lato b. 



Per tale area Lamé { l ) ha determinato tutti gli autovalori e le auto- 

 funzioni della (1): queste ultime si hanno osservando che la funzione: 



ove m , n sono interi, è evidentemente im'autofunzione della (1) purché sus- 

 sista l'eguaglianza: 



Ne segue che il minimo autovalore X[ si ha per m = n = 1 , ed ha per 

 espressione : 



Ciò premesso, consideriamo un'area cr, limitata da una curva chiusa s, 

 e determiniamo un confine inferiore per il minimo autovalore X 1 della (1). 

 Ricordiamo perciò il seguente teorema di Schwarz ( 2 ) : « Se un'area è 



(') Lamé, Lecons sur la théorie mathématique de Vélasticité des corps solides, 

 pag. 116 (Paris, a. 1852). 



( 2 ) Schwarz, Integration der partiellen Differentialgleichung, etc. (Gesammelte ma- 

 thematische Abhandlungen, pag. 261 ; Berlin, a. 1890). Un'altra dimostrazione, assai sem- 

 plice, di tale teorema è stata data recentemente dal Picard nella sua Memoria: Sur 

 quelques applications de Véquation fonctionnelle de M. Fredholm (Rendiconti del Cir- 

 colo matematico di Palermo, t, XXII, a. 1906). Tale teorema, fisicamente, esprime che, 

 al rimpiccolire della membrana, diminuisce il periodo della vibrazione corrispondente al 



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