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contenuta all' interno di un'altra, il più piccolo autovalore della prima è 

 maggiore del più piccolo autovalore della seconda » . Osserviamo poi che 

 chiamando a , b i lati di un rettangolo contenente nel suo interno l'area e, 

 avremo, dal teorema di Schwarz : X 1 > X[ , cioè, per la (2) : 



(3) + 



che è la diseguaglianza che volevamo stabilire. 



Supponendo ad es. a ^> b e facendo crescere indefinitamente a, si deduce: 



che non differisce sostanzialmente dalla diseguaglianza del Picard. 

 Quella del Poincaré è invece : 



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*i>7I)ii 



ove D è il diametro dell'area a. 



Considerando ora un rettangolo di lati a, , b x contenuto all'interno di e, 

 si ha, dal teorema di Schwarz: 



< 4 > *■<"*(;?+*)• 



abbiamo cosi un confine superiore per X x . 



Applichiamo ad es. le (3), (4) al caso di un cerchio di raggio R. Pos- 

 siamo porre : a = b = 2R ed a Y = b l = R \ 2 , quindi avremo : 



TX" Ti 



R^ >Al> 2R i ' 



cioè: 



9^ 4,93 

 R 2 ^ 1 > R 2 



Il valore esatto di A, si ha osservando che gli autovalori, nel caso del cer- 

 chio, soddisfano, com'è noto, alle equazioni: J } ,(| / AR) = 0, ove J„ indica 



suono più grave che essa può emettere, e quindi cresce Y altezza di tale suono; sotto 

 questa forma il teorema è pressoché intuitivo, e notissimo nella fisica sperimentale e 

 nella musica, sovratutto nel caso di una dimensione (corde sonore). 



