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la funzione di Bessel d'ordine n\ la più piccola radice si ha per « = 0 e 

 vale (*) 2,40, perciò: 



si vede quindi che questo valore è abbastanza prossimo al confine inferiore 

 dianzi trovato. 



A proposito del cerchio, ricorderemo ancora che da una tabella costruita 

 da Lord Eayleigh (*), risulta che fra tutte le membrane aventi la stessa 

 area, e, s' intende, costituzione fisica, il minimo valore di Ai compete alla 

 membrana circolare ; sarebbe interessante stabilire questa proprietà in modo 

 rigoroso, però pare che la dimostrazione presenti gravi difficoltà. 



2. Dedurremo ora la (3) senza ricorrere al teorema di Schwarz, ma 

 estendendo convenientemente il metodo seguito dal Picard per ottenere la 

 sua diseguaglianza. 



Intanto essendo X x il minimo autovalore della (1), è chiaro che per 

 X <C sussisterà il teorema di unicità per l'equazione (1); orbene noi tro- 

 veremo un confine inferiore per X x esaminando appunto, in modo diretto, in 

 quali casi sarà valido per la (1) il teorema di unicità. 



Dalla (1) risulta: 



cioè, integrando per parti, e ricordando che sul contorno s la funzione u si 

 annulla : 



quest'eguaglianza, ben nota, mostra intanto che, se X è negativo, allora sus- 

 siste certo il teorema di unicità. 



Supponiamo ora X positivo, e indichiamo con y> , ip due funzioni continue 

 qualunque di x , tj; allora avremo identicamente, ricordando l'equazione pre- 

 cedente : 



(') Cfr. ad es. Lord J. Eayleigh, The theory of sound, voi. I, pag. 330 (2 edition, 

 London, a. 1884). 



( 2 ) Op. cit, pag. 345. 



(2 , 4) 2 5,76 . 



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Rendiconti. 1907, Voi. XVI, 2° Sem. 



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