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vuole ad a , /? , si può concludere che, per ogni area contenuta nel rettan- 

 golo determinato da una striscia parallela all'asse y di larghezza minore 



di — , e da una striscia parallela all'asse x di larghezza minore di , 

 a p 



vale il teorema di unicità. 



Chiamando rispettivamente a , b le larghezze di queste striscie, si ha 

 dunque : 



«<— . b < — , 



a p _ 



quindi : 



Se dunque è soddisfatta questa condizione, vale, per la (1), il teorema di 

 unicità. Tale enunciato non differisce sostanzialmente da quello espresso 

 dalla (3). 



È poi chiaro che questa proprietà vale qualunque sia l'orientazione del 

 rettangolo, e quindi delle due strisce (perpendicolari) che lo determinano. 



3. Vediamo ora di determinare un confine superiore per la somma dei 

 quadrati dei reciproci degli autovalori della (1). 



Indicando con G(x , y ; £ , rj) la funzione di Green relativa all'area <r, 

 si deduce dalla (1), applicando la forinola di Green, e ricordando che la 

 funzione u si annulla sul contorno : 



2mi(x ,y)==X G(x , y'; £ , rj) w(| , rj) d£ drj ; 



J a 



questa è, secondo le denominazioni moderne, una equazione integrale omo- 

 genea, il cui nucleo è la funzione G(x ,y;, £ r rj), la quale notoriamente 



è simmetrica e positiva nell'area a. 



Applicando ora una proprietà stabilita da E. Schmidt ('), relativamente 

 alle equazioni integrali omogenee, avremo, denotando con X x , X 2 , 2 3 . . . i 

 successivi autovalori della (1), disposti per ordine di grandezza crescente: 



00 i ire 



( 5 ) ]p ~ K J ^ a ' y ' ? ' V ^ ^ d7} dX dy ' 



Consideriamo un cerchio a ì , contenente l'area data e, e chiamiamo 

 (?i(x , y ; £ , rj) la funzione di Green relativa a quest'area; allora è noto, 

 del resto si riconosce subito, che si avrà: 



G(x , y ; £ , »;)< G,(x , y ; £ , rj) , 



per tutte le posizioni dei punti {x ,y),{ì , rj) entro a. 



(>) E. Schmidt, Entwicklung ivillkurlicher Functionen, etc. (Inaugural-Dissertation, 

 Gcittingen, a. 1905). 



