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Se ne deduce: 



f G 2 dt dr} < Tg 2 dì d^ < f Gì d'§ di) . 



J a J a J o, 



Ora chiamando R il raggio di a { , è facile vedere che : 

 Gl <lo g I_iog^, 



ove r è la distanza dei punti (x , y) ,(£,»;) ; perciò : 

 JV dì drj < (log ^rjfè . 



Denotando con q il raggio vettore che dal centro del cerchio va al 

 punto (£ , rj) , si riconosce facilmente che : 



quindi : 



/" fR r2ir/ 9T?\ 2 r~1 1 1 ~~ 1 



j^ 2 ^dv<jJ o ( lo gy) ?^^ = 27rR 2 |^i+-log2 + i(log2) 2 j, 

 e sostituendo nella (5): 



campi a tre dimensioni, in cui l'equazione (1), ove ora J 2 = 373^ + 3777 + , 



la quale ci dà, il confine superiore richiesto. 



4. I risultati stabiliti precedentemente si estendono senza difficoltà ai 



dP_ d?_ . d* 

 dx 1 dy 2 



si presenta pure nello studio dei moti vibratori. 



Nel caso di un parallelepipedo rettangolo di spigoli a , b , c, Lamé ha 

 pure determinato tutti gli autovalori e le autofunzioni della (1): in parti- 

 colare, il minimo autovalore X[ è espresso da('): 



Si abbia ora un solido S, limitato da una superficie chiusa <x, e cerchiamo 

 un confine inferiore e un confine superiore per il minimo autovalore X x rela- 

 tivo ad S. 



Basta considerare un parallelepipedo rettangolo contenente nel suo in- 

 terno il solido S, e un un altro che sia contenuto in S ; se a , b , c ; a x , b x , C\ 



(') Lamé, op. cit., pag. 176. 



